3D点投影到2D后，如何回到3D？

Question

简单问题：我使用平移和旋转矩阵以及相机内在矩阵得到一个 3x4 矩阵，用于将 3d 点转换为 2d 点（表示为 Tform）

我用矩阵对点[10,-5,1]进行了变换，在末尾加1，新点记为newpoint。

现在我想使用新点数据转换回 3D space，其中 old_est 应该等于旧点。

我正在寻找在下面的代码中插入 XXX 矩阵的解决方案

import numpy as np

Tform=np.array([[4000,0,-1600,-8000],[500,5000,868,-8000],[.5,0,.8,-8]])
old=np.array([10,-5,1,1])
newpoint=np.dot(Tform,old)
print(newpoint)

old_est=np.dot(XXX,np.append(newpoint,1))
print(old_est)

Answer 1

将第 4 行添加到 Tform，值为 0 0 0 1，即单位矩阵的最后一行：

>>> m = np.vstack(Tform, np.array([0,0,0,1]))
>>> m
array([[ 4.00e+03,  0.00e+00, -1.60e+03, -8.00e+03],
       [ 5.00e+02,  5.00e+03,  8.68e+02, -8.00e+03],
       [ 5.00e-01,  0.00e+00,  8.00e-01, -8.00e+00],
       [ 0.00e+00,  0.00e+00,  0.00e+00,  1.00e+00]])

_{请注意，您不能使用 append，因为它还会展平输入数组。}

观察，当与old相乘时，结果的第4个分量为1，即结果等于np.append(newpoint, 1):

>>> np.dot(m, old)
array([ 3.0400e+04, -2.7132e+04, -2.2000e+00,  1.0000e+00])
                                               ----------

因此XXX是这个新矩阵的逆：

>>> XXX = np.linalg.inv(m)
>>> np.dot(XXX, np.append(newpoint, 1))
array([10., -5.,  1.,  1.])
       -------------

然后我们得到 old 的组件。

_{或者，您可以从newpoint中减去Tform的第4列，并将结果乘以[=13=的左3x3sub-matrix的倒数]，但这有点繁琐，所以我们不妨让 numpy 做更多的工作 :)}

3D点投影到2D后，如何回到3D？

After projecting 3D points to 2D, how to get back to 3D?

camera

projection

linear-algebra