多个列表的归纳证明

Question

我正在关注 Coursera 上的 Scala 函数式编程讲座，在视频 5.7 的结尾，Martin Odersky 要求通过归纳法证明以下等式的正确性：

(xs ++ ys) map f = (xs map f) ++ (ys map f)

当涉及多个列表时，如何通过归纳法处理证明？

我已经检查了 xs 为 Nil 和 ys 为 Nil 的基本情况。我已经通过归纳法证明了当 xs 被 x::xs 代替时方程成立，但是我们是否还需要检查 ys 被 y::ys 代替的方程？

在那种情况下（不会过多破坏练习...无论如何都不会评分）你如何处理：(xs ++ (y::ys)) map f？

这是我在类似示例中使用的方法，以证明

(xs ++ ys).reverse = ys.reverse ++ xs.reverse

证明（省略基本情况，以及简单的 x::xs 情况）：

(xs ++ (y::ys)).reverse
= (xs ++ (List(y) ++ ys)).reverse         //y::ys = List(y) ++ ys
= ((xs ++ List(y)) ++ ys).reverse         //concat associativity
= ys.reverse ++ (xs ++ List(y)).reverse   //by induction hypothesis (proven with x::xs)
= ys.reverse ++ List(y).reverse ++ xs.reverse //by induction hypothesis
= ys.reverse ++ (y::Nil).reverse ++ xs.reverse //List(y) = y :: Nil
= ys.reverse ++ Nil.reverse ++ List(y) ++ xs.reverse //reverse definition
= (ys.reverse ++ List(y)) ++ xs.reverse //reverse on Nil (base case)
= (y :: ys).reverse ++ xs.reverse         //reverse definition

这样对吗？

Answer 1

正如@Phil 的评论所说，首先要很好地理解方法 ++ 和 :: 在列表上的作用，更好的方法是 documentation

如何证明列表程序的性质？答案是通过结构归纳！通过结构归纳证明列表属性 P(xs) 的证明规则：

P(无)（基本情况）对于所有 x,xs：P(xs) => P(x::xs)（归纳步骤）

对于所有 xs : P(xs)（结果）

归纳步骤中的P(xs)称为归纳假设

因为唯一重要的是 xs，ys 是固定长度为 l 的适当列表，在证明 xs 之后你可以证明 ys，或者看到它是可交换的

那么让我们应用归纳法和函数的定义

P(xs): (xs ++ ys) 映射 f = (xs 映射 f) ++ (ys 映射 f)

我们用 nil 代替 xs 的基本情况

(nil ++ ys) map f [definition of ++ ] 
ys map f  on the other hand 
(xs map f) ++ (ys map p) [apply map over NIL] 
(NIL) ++ (ys map p) [definition pf ++] 
ys map p

归纳步骤

((x::xs) ++ ys) map f [definition ++]
(x:: (xs ++ ys)) map f [definition map]
f(x) :: ((xs ++ ys) map f) [induction hypothesis]
f(x) :: ((xs map f) ++ (ys map f)) [definition ++]
(f(x) :: (xs map f)) ++ (ys map f) [definition map]
(x::xs) map f ++ ys map f

q.e.d

例如 scala 工作中的另一个案例 sheet

import scala.util.Random

// P : length ( append(as,bs) )) = length ( as ) + length (bs)

def length[T](as: List[T]): Int = as match {
    case Nil => 0
    case _::xs => 1 + length(xs)
}

def append[T](as: List[T], bs: List[T]): List[T] = as match {
  case Nil => bs
  case x :: xs => x :: append(xs, bs)
}

// base case  we substitute Nil for as in P

val a:List[Int] = Nil
val n = 10
val b:List[Int] = Seq.fill(n)(Random.nextInt).toList

length((append(a,b)))

length(a)

length(b)

进口scala.util.Random

length: length[T](val as: List[T]) => Int




append: append[T](val as: List[T],val bs: List[T]) => List[T]






a: List[Int] = List()
n: Int = 10
b: List[Int] = List(1168053950, 922397949, -1884264936, 869558369, -165728826, -1052466354, -1696038881, 246666877, 1673332480, -975585734)

res0: Int = 10

res1: Int = 0

res2: Int = 10

here 你可以找到更多例子

Answer 2

属性涉及多个列表，但 ++ 仅递归其左侧参数。这暗示你可以通过对左边的论证进行归纳来证明。通常，在证明关于某个递归函数的命题时，您尝试的第一件事是对函数递归的相同参数进行归纳。

我给你举个例子：

声明：(xs ++ ys) map f = (xs map f) ++ (ys map f)

证明：通过对xs.

的归纳

基本情况：xs = Nil
- lhs = (Nil ++ ys) map f = ys map f
  
  （根据++的定义）
- rhs = (Nil map f) ++ (ys map f) = Nil ++ ys map f = ys map f
  
  （由map定义，然后++定义）
- 因此lhs=rhs
归纳案例：xs = z :: zs
- 假设: (zs ++ ys) map f = (zs map f) ++ (ys map f)
- 目标: ((z :: zs) ++ ys) map f = ((z :: zs) map f) ++ (ys map f)
- lhs = (z :: (zs ++ ys)) map f = f(z) :: ((zs ++ ys) map f) (1)
  
  （根据map的定义）
- rhs = ((z :: zs) map f) ++ (ys map f) = (f(z) :: (zs map f)) ++ (ys map f)
  
  （根据map的定义）
- 依次，rhs=f(z) :: ((zs map f) ++ (ys map f)) (2)
  
  （根据++的定义）
- 来自假设,(1)和(2)，我们已经证明了目标 .

因此，我们已经证明了 xs、ys 和 f 的说法是真实的。

多个列表的归纳证明

Proof by induction with multiple lists

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