NumPy：为什么 np.linalg.eig 和 np.linalg.svd 给出不同的 SVD V 值？

Question

我正在学习SVD by following this MIT course。

矩阵构造为

C = np.matrix([[5,5],[-1,7]])
C
matrix([[ 5,  5],
        [-1,  7]])

讲师给出的V为

这接近

w, v = np.linalg.eig(C.T*C)
matrix([[-0.9486833 , -0.31622777],
        [ 0.31622777, -0.9486833 ]])

但是 np.linalg.svd(C) 给出了不同的输出

u, s, vh = np.linalg.svd(C)
vh
matrix([[ 0.31622777,  0.9486833 ],
        [ 0.9486833 , -0.31622777]])

好像vh交换了V向量中的元素，可以接受吗？

我做的和理解的是否正确？

Answer 1

对于 linalg.eig，您的特征值存储在 w 中。它们是：

>>> w
array([20., 80.])

对于奇异值分解，您可以通过对奇异值求平方来获得特征值（C 是可逆的，所以这里一切都很简单）：

>>> s**2
array([80., 20.])

如您所见，他们的订单被翻转了。

来自 linalg.eig 文档：

The eigenvalues are not necessarily ordered

来自 linalg.svd 文档：

Vector(s) with the singular values, within each vector sorted in descending order. ...

在为您提供特征值和特征向量的一般例程中，不一定 "sort" 它们会以您想要的方式出现。因此，确保您拥有所需特征值的特征向量始终很重要。如果您需要对它们进行排序（例如按特征值大小），您可以随时自己进行排序（参见此处：sort eigenvalues and associated eigenvectors after using numpy.linalg.eig in python）。

最后请注意 vh 中的行包含特征向量，而 v 中是列 .

这意味着例如：

>>> v[:,0].flatten()
matrix([[-0.9486833 ,  0.31622777]])
>>> vh[1].flatten()
matrix([[ 0.9486833 , -0.31622777]])

给你两个特征值的特征向量20。

NumPy：为什么 np.linalg.eig 和 np.linalg.svd 给出不同的 SVD V 值？

NumPy: why does np.linalg.eig and np.linalg.svd give different V values of SVD?

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