对具有 k 个部分的整数分区进行排序和取消排序

Question

对于正整数n和k，设一个“k-划分n" 是 k 个不同正整数的排序列表，加起来等于 n，并让 "rank" 的给定 k - n 的分区是它在所有这些列表的排序列表中的位置，从字典顺序开始0.

例如，有两个 2-partition of 5 (n = 5, k = 2): [1,4 ] 和 [2,3]。由于 [1,4] 按字典顺序排在 [2,3] 之前，因此 [1,4] 的等级为 0 而 [2,3] 的等级为 1.

所以，我希望能够做两件事：

给定 n、k 和 k 的 k-分区]n，我想找到 k-partition of n.
给定 n、k 和一个排名，我想找到 k -n 具有该级别的分区。

我可以这样做而不必计算 n 的所有 k 分区，这些分区在感兴趣的分区之前吗？

这个问题与其他问题不同，因为我们在这里讨论的是整数分区，而不仅仅是组合。

Answer 1

Python 中的解决方案依赖于两个想法。首先，动态规划计算分区而不生成它们。其次，如果第一个值是 i 那么我们可以将其视为一个 i * k 盒子，其中 n-i*k 分成 k-1 块放在顶部。

partition_cache = {}
def distinct_partition_count (n, k):
    if n < k:
        return 0
    elif n < 1:
        return 0
    elif k < 1:
        return 0
    elif k == 1:
        return 1
    elif (n, k) not in partition_cache:
        answer = 0
        for i in range(1, n/k + 1):
            answer = answer + distinct_partition_count(n - i*k, k-1)
        partition_cache[(n, k)] = answer
    return partition_cache[(n, k)]

def rank_distinct_partition (values):
    values2 = sorted(values)
    n = sum(values)
    k = len(values)
    answer = 0
    highwater = 0
    for v in values:
        rise = v - highwater
        for i in range(1, rise):
            answer = answer + distinct_partition_count(n - k*i, k-1)
        highwater = v
        ## BUG HERE: was n = n - rise
        n = n - rise * k
        k = k - 1
    return answer

def find_ranked_distinct_partition (n, k, rank):
    if k == 1 and rank == 0:
        return [n]
    elif distinct_partition_count(n, k) <= rank:
        return None
    elif rank < 0:
        return None
    else:
        i = 1
        while distinct_partition_count(n - i*k, k-1) <= rank:
            rank = rank - distinct_partition_count(n - i*k, k-1);
            i = i + 1
        answer = find_ranked_distinct_partition(n - i*k, k-1, rank)
        return [i] + [j + i for j in answer]

print(rank_distinct_partition([2, 3])
print(find_ranked_distinct_partition(5, 2, 1))

对具有 k 个部分的整数分区进行排序和取消排序

Rank and unrank integer partition with k parts

arrays

algorithm

combinations

ranking

integer-partition