快速选择时间复杂度解释

Question

来自 https://en.wikipedia.org/wiki/Quickselect 它说

"However, instead of recursing into both sides, as in quicksort, quickselect only recurses into one side – the side with the element it is searching for. This reduces the average complexity from O(n log n) to O(n), with a worst case of O(n^2)."

我不明白减少到只看一侧如何将平均复杂度降低到 O(n)？不是更多的 O(N/2 log N) 仍然是 O(N log N)。最坏的情况如何 O(n^2)

Answer 1

n log(n) 意味着该算法查看所有 N 项 log(n) 次。但这不是 Quickselect 的情况。

假设您正在使用 Quickselect 从 128 项列表中选择前 8 项。由于随机选择的奇迹，您选择的轴心始终位于中间点。

在第一次迭代中，该算法查看所有 128 个项目并将其分成两组，每组 64 个项目。下一次迭代分成两组，每组 32 个项目。然后是16，然后是8。检查的项目数是：

N + N/2 + N/4 + N/8 + N/16

该系列的总和永远不会达到 2*N。

最坏的情况是分区总是导致分区大小非常倾斜。考虑如果第一个分区只删除一个项目会发生什么。而第二个只删除了一个，等等。结果将是：

N + (N-1) + (N-2) ...

也就是(n^2 + n)/2)，或者O(n^2).

Answer 2

一张图值一百行：

这种数列的和会无限接近1但不等于1

Answer 3

当我读到平均时间复杂度是 O(n) 而我们每次都将列表分成两半时（如二进制搜索或快速排序），我一开始也感到非常矛盾。为了证明只看一侧将平均运行时复杂度从O(n log n)降低到O(n)，我们来对比一下quicksort(2 sided)和quickselect(1 sided)的时间复杂度递归关系。

快速排序：

T(n) = n + 2T(n/2)
     = n + 2(n/2 + 2T(n/4))
     = n + 2(n/2) + 4T(n/4)
     = n + 2(n/2) + 4(n/4) + ... + n(n/n)
     = 2^0(n/2^0) + 2^1(n/2^1) + ... + 2^log2(n)(n/2^log2(n))
     = n (log2(n) + 1)      (since we are adding n to itself log2 + 1 times)

快速选择：

 T(n) = n + T(n/2)
      = n + n/2 + T(n/4)
      = n + n/2 + n/4 + ... n/n
      = n(1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^log2(n))
      = n (1/(1-(1/2))) = 2n                           (by geometric series)

我希望这能让你相信为什么只看一侧会有所不同！

Answer 4

它的复杂度几乎是Θ(N)(Everage O(N))。

假设目标索引为1，这意味着我们要找到最小元素：

第一个循环：检查整个[1, N]和分区，近N个操作。
第二个循环：检查整个 [1, x] 和分区，近 N/2 个操作。
第三个循环：检查整个 [1, y] 和分区，近 N/2 个操作。
...

最终循环：检查整个[1, 1]，arr[1]是我们的目标，1个操作。

因此，复杂度约为：

T = T(N + N/2 + N/4 + ... + 1) 
     = T(1*(1-2^(logN))*(1-2)) 
     = T(2^(logN) - 1) 
     = Θ(N)

这个表达式可能太简单了，希望对你有帮助。顺便说一下，这是 quickselect 的平均复杂度，因为 quicksort/quickselect 的性能可能会因为列表值分布和目标索引而波动。您可以查看https://en.wikipedia.org/wiki/Quickselect了解更多详情。

快速选择时间复杂度解释

Quickselect time complexity explained

algorithm

time-complexity

quickselect