双函子与箭头方法

Question

Bifunctor 和 Arrow 方法之间有一点重叠：

class Bifunctor p where
  first :: (a -> a') -> p a b -> p a' b
  second :: (b -> b') -> p a b -> p a b'
  bimap :: (a -> a') -> (b -> b') -> p a b -> p a' b'

class Arrow (~~>) where
  ...
  first :: (a ~~> a') -> (a, b) ~~> (a', b)
  second :: (b ~~> b') -> (a, b) ~~> (a, b')
  (***) :: (a ~~> a') -> (b ~~> b') -> (a, b) ~~> (a', b')

Bifunctor class 的规律与 Functor 完全相似。

Arrow class 有许多不同的法律和一个关于 (***) 的有点神秘的警告： "Note that this is in general not a functor." 令人惊讶的是（对我来说）只有一个法律关于 (***):

first f >>> arr (id *** g) = arr (id *** g) >>> first f

Arrow (->) 实例和 Bifunctor (,) 实例完全匹配，因此 bimap @(,) = (***) @(->)。这有什么特别的意义吗？有没有有意义的假设

class Foo (~~>) p where
  biFoo :: (a ~~> a') -> (b ~~> b') -> p a b ~~> p a' b'

如果是这样，是否承认函数依赖性？

Answer 1

Arrow 是 cartesian closed categories, or a least cartesian monoidal categories 的 class 的（有点混蛋）前身。具体来说，对于张量积为(,)且单位元为().

的幺半群范畴

回想一下 monoidal category 的特征在于张量积是双函子，因此 Arrow 和 Bifunctor 之间存在联系。

*** 实际上有比您列出的更多的法律，只是图书馆选择根据 first 来制定这些法律。这是 class:

的等效定义

class (Category k, Category k') => EnhancedCategory k k' where
  arr :: k a b -> k' a b
  -- arr id ≡ id
  -- arr (f . g) = arr f . arr g
class (EnhancedCategory (->) a) => Arrow a where
  (***) :: a b c -> a b' c' -> a (b,b') (c,c')
  -- (f***id) . (g***id) ≡ (f.g)***id
  -- (id***f) . (id***g) ≡ id***(f.g)
  -- arr fst . (f***id) ≡ f . arr fst
  -- arr snd . (id***g) ≡ g . arr snd
  -- ¿ arr swap . (f***g) ≡ (g***f) . arr swap ?
  -- ((f***g)***h) . assoc ≡ assoc . (f***(g***h))
  diag :: a b (b,b)

first :: Arrow a => a b c -> a (b,d) (c,d)
first f = f***id
second :: Arrow a => a b c -> a (d,b) (d,c)
second g = id***g
(&&&) :: Arrow a => a b c -> a b d -> a b (c,d)
f&&&g = (f***g) . diag

顺便说一句，也可以删除提升纯函数的arr，而只给超级class专用方法fst、snd和assoc。 I call that class Cartesian. This allows defining “arrow” categories that don't contain arbitrary Haskell functions; linear maps 是一个重要的例子。

Answer 2

Arrow 是 to Strong + Category.

您可以选择a different notion of strength to get a different kind of Arrow。

class Category a => ArrowChoice a where
    arr :: (b -> c) -> a b c
    (+++) :: a b c -> a b' c' -> a (Either b b') (Either c c')

换句话说，您的笛卡尔闭范畴的张量积不需要正好 (,)。你能想出的任何张量积都有一个相应的强度概念，每个强度都会给你相应的变化 Arrow.

值得注意的是，许多 profunctor 都是 Strong 和 Choice，因此您的 Foo（基本上是对张量积 p 的概括 Strong） '具有功能依赖性。

不幸的是，base 中的 Control.Arrow 模块将层次结构混淆了一点（例如，他们的 ArrowChoice 有 Arrow 作为超类）。

双函子与箭头方法

Bifunctor vs. Arrow methods

haskell

arrows

typeclass

bifunctor