寻找如果 n! + 1 是一个完美的正方形

Question

我正在尝试编写一个程序来查找一个介于 0 和 100 之间的数字 n，使得 n! + 1 是一个完美的正方形。我正在尝试这样做，因为我知道只有三个，所以它是为了测试我的 Python 能力。

Answer 1

数字 math.sqrt returns 永远不是整数，即使它是整数。How to check if a float value is a whole number

Answer 2

math.sqrt 总是 returns 一个 float，即使那个浮动恰好是 4.0。正如文档所说，"Except when explicitly noted otherwise, all return values are floats."

因此，您对 type(math.sqrt(x)) == int 的测试永远不会成立。

您可以尝试通过检查浮点数是否表示整数来解决这个问题，如下所示：

sx = math.sqrt(x)
if round(sx) == sx:

甚至 a built-in method 也尽可能做到这一点：

if sx.is_integer():

但请记住，float 值并不是实数的完美表示，而且总是存在舍入问题。例如，对于一个太大的数字，sqrt 可能舍入为一个整数，即使它实际上不是一个完美的正方形。例如，如果 math.sqrt(10000000000**2 + 1).is_integer() 是 True，即使这个数字显然不是一个完美的平方数。

我可以告诉你这在你的价值观范围内是否安全，但你能说服自己吗？如果不是，你不应该只是假设它是。

那么，有没有一种方法可以检查是否不受 float 道路问题的影响？当然，我们可以使用整数算法来检查：

sx = int(round(math.sqrt(x)))
if sx*sx == x:

但是，正如 Stefan Pochmann 指出的那样，即使此检查是安全的，是否意味着整个算法是安全的？不; sqrt 本身可能已经四舍五入到失去整数精度的程度。

因此，您需要一个准确的 sqrt。您可以通过使用具有巨大配置精度的 decimal.Decimal 来做到这一点。这将需要一些工作和大量内存，但它是可行的。像这样：

decimal.getcontext().prec = ENOUGH_DIGITS
sx = decimal.Decimal(x).sqrt()

可是ENOUGH_DIGITS是多少位数呢？那么，您需要准确表示多少位数字 100!+1？

所以：

decimal.getcontext().prec = 156
while n <= 100:
    x = math.factorial(n) + 1
    sx = decimal.Decimal(x).sqrt()
    if int(sx) ** 2 == x:
        print(sx)
    n = n + 1

如果你考虑一下，有一种方法可以将所需的精度降低到 79 位，但我将把它留作 reader.

的练习。

你可能应该解决这个问题的方法是使用纯整数数学。例如，您可以通过使用 Newton's method 来确定一个整数是否是对数时间的平方，直到您的近似误差小到足以检查两个相邻的整数。

Answer 3

对于非常大的数字，最好完全避免使用浮点平方根，因为您会运行陷入太多的精度问题，您甚至不能保证您会在正确值的 1 个整数值之内回答。幸运的是 Python 原生支持任意大小的整数，因此您可以编写整数平方根检查函数，如下所示：

def isSquare(x):
    if x == 1:
        return True
    low = 0
    high = x // 2
    root = high
    while root * root != x:
       root = (low + high) // 2
       if low + 1 >= high:
          return False
       if root * root > x:
          high = root
       else:
          low = root
    return True

然后你可以运行遍历从 0 到 100 的整数，如下所示：

n = 0
while n <= 100:
    x = math.factorial(n) + 1
    if isSquare(x):
        print n
    n = n + 1

Answer 4

这是另一个仅适用于整数的版本，通过添加 2 的递减幂来计算平方根，例如 intsqrt(24680) 将计算为 128+16+8+4+1。

 def intsqrt(n):
    pow2 = 1
    while pow2 < n:
        pow2 *= 2
    sqrt = 0
    while pow2:
        if (sqrt + pow2) ** 2 <= n:
            sqrt += pow2
        pow2 //= 2
    return sqrt

factorial = 1
for n in range(1, 101):
    factorial *= n
    if intsqrt(factorial + 1) ** 2 == factorial + 1:
        print(n)

寻找如果 n! + 1 是一个完美的正方形

Finding if n! + 1 is a perfect square

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