是否可以沿轴对 ndarray 执行 linalg.multi_dot？
Is it possible to do linalg.multi_dot for an ndarray along an axis?
首先，我有一组 12 (2x2) 个矩阵。
II = np.identity(2, dtype=complex)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
PPP = (-II + 1j*X + 1j*Y + 1j*Z)/2
PPM = (-II + 1j*X + 1j*Y - 1j*Z)/2
PMM = (-II + 1j*X - 1j*Y - 1j*Z)/2
MMM = (-II - 1j*X - 1j*Y - 1j*Z)/2
MMP = (-II - 1j*X - 1j*Y + 1j*Z)/2
MPP = (-II - 1j*X + 1j*Y + 1j*Z)/2
PMP = (-II + 1j*X - 1j*Y + 1j*Z)/2
MPM = (-II - 1j*X + 1j*Y - 1j*Z)/2
目前我有一个函数 operator_groups，它为每个 j 循环从该组中抽取一个随机矩阵，并将其附加到列表 sequence 中。然后使用在所有单独的 j 循环之间绘制的随机矩阵进行一些计算，这与我们在这里的讨论无关。在 j 循环结束时，列表 sequence 的元素序列被反转，然后执行 linalg.multi_dot ，然后采用它的厄密共轭（因此 .conj().T)
def operator_groups():
return random.choice([II, X, Y, Z, PPP, PPM, PMM, MMM, MMP, MPP, PMP, MPM])
for i in range(1, sample_size+1, 1):
sequence = []
for j in range(1, some_number, 1):
noise = operator_groups()
"""some matrix calculations here"""
sequence.append(noise)
sequence_inverse = np.linalg.multi_dot(sequence[::-1]).conj().T
现在我希望通过在一个大矩阵中执行 j 循环来向量化 i 循环 。 noise 现在是从组中随机抽取的 N 个矩阵（而不是仅 1 个矩阵）的 ndarray，每个矩阵代表 j 的迭代，但并行化。 代码现在看起来像这样。
def operator_groups(sample_size):
return random.sample([II, X, Y, Z], sample_size)
sequence = []
for j in range(1, some_number, 1):
noise = operator_groups(sample_size)
sequence.append(noise)
sequence_inverse = np.linalg.multi_dot(sequence[::-1]).conj().T
既然 sequence 是一个多维数组，我在将多维 noise 附加到 sequence 中的正确顺序时遇到了问题，随后也遇到了问题对 sequence 的倒数执行 linalg.multidot 并取其厄米特共轭。在这种情况下，我想 multi_dot 与每个 j 循环对应的每个 j 行的所有存储的 noise 的倒数。 如何做到这一点？
我将在下面提供一些 "pseudo-examples" 来进一步证明我的问题，使用 j = 3。为简单起见，这里我将只提供 "randomly draw" X, Y, Z。
非矢量化案例：
i = 1
sequence = []
j = 1
noise = X (randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [X]
j = 2
noise = Y (randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [X, Y]
j = 3
noise = Z (randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [X, Y, Z]
end of j loop
take reverse order: [Z, Y, X]
do multi_dot: [ZYX] (Note: dot products, not element-wise multiplication)
take conjugate and tranpose(to get Hermitian): [ZYX].conj().T = [ZYX.conj().T]
矢量化案例（假设我在做 sample_size = 3）：
sequence = []
j = 1
noise = [X,Z,Y](randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [[X,Z,Y]]
j = 2
noise = [Z,Y,X] (randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [[X,Z,Y],
[Z,Y,X]]
j = 3
noise = [Z,Z,X] (randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [[X,Z,Y],
[Z,Y,X],
[Z,Z,X]]
end of j loop
take reverse order: [[Z,Z,X],
[Z,Y,X],
[X,Z,Y]]
do multi_dot(along an axis,
which is what I have trouble with): [ZZX,ZYZ,XXY]
take conjugate and tranpose(to get Hermitian):
[ZZX,ZYZ,XXY].conj().T = [ZZX.conj().T, ZYZ.conj().T, XXY.conj().T]
我希望这些例子能说明我的问题
使用你的两个随机选择器：
In [13]: operator_groups() # returns one (2,2) array
Out[13]:
array([[-0.5+0.5j, 0.5-0.5j],
[-0.5-0.5j, -0.5-0.5j]])
In [14]: operator_groups1(4) # returns a list of (2,2) arrays
Out[14]:
[array([[0.+0.j, 1.+0.j],
[1.+0.j, 0.+0.j]]), array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]]), array([[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]])]
您的循环创建了一个数组列表：
In [15]: seq=[]
...: for j in range(4):
...: seq.append(operator_groups())
...:
In [16]: seq
Out[16]:
[array([[-0.5-0.5j, -0.5+0.5j],
[ 0.5+0.5j, -0.5+0.5j]]), array([[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]]), array([[-0.5+0.5j, -0.5-0.5j],
[ 0.5-0.5j, -0.5-0.5j]]), array([[-0.5-0.5j, 0.5-0.5j],
[-0.5-0.5j, -0.5+0.5j]])]
可以给multi_dot顺序打点：
In [17]: np.linalg.multi_dot(seq)
Out[17]:
array([[0.-1.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 0.+1.j]])
如果我们使用组选择器构建序列，我们会得到一个列表列表：
In [18]: seq=[]
...: for j in range(4):
...: seq.append(operator_groups1(3))
...:
In [19]: seq
Out[19]:
[[array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]]), array([[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[0.+0.j, 1.+0.j],
[1.+0.j, 0.+0.j]])], [array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]]), array([[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[0.+0.j, 1.+0.j],
[1.+0.j, 0.+0.j]])], [array([[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]]), array([[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]])], [array([[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]]), array([[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]])]]
In [20]: len(seq)
Out[20]: 4
In [21]: len(seq[0])
Out[21]: 3
我们可以 'stack' 内部列表，创建一个包含 (n,2,2) 个数组的列表：
In [22]: seq1 = [np.stack(el) for el in seq]
In [23]: seq1
Out[23]:
[array([[[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]],
[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]],
[[ 0.+0.j, 1.+0.j],
[ 1.+0.j, 0.+0.j]]]), array([[[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]],
[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]],
[[ 0.+0.j, 1.+0.j],
[ 1.+0.j, 0.+0.j]]]), array([[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, 1.+0.j]],
[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]],
[[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]]]), array([[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, 1.+0.j]],
[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]],
[[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]]])]
然后我们可以在此列表上重复应用 matmul：
In [25]: res = seq1[0]
...: for el in seq1[1:]:
...: res = res@el
...:
...:
In [26]: res
Out[26]:
array([[[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]],
[[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]],
[[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]]])
实际上 matmul 类似于 dot，但它将主要维度视为 'batch' 维度。
对于随机选择，比较不同的结果很痛苦（除非我设置种子），所以我将验证留给你。
首先，我有一组 12 (2x2) 个矩阵。
II = np.identity(2, dtype=complex)
X = np.array([[0, 1], [1, 0]], dtype=complex)
Y = np.array([[0, -1j], [1j, 0]], dtype=complex)
Z = np.array([[1, 0], [0, -1]], dtype=complex)
PPP = (-II + 1j*X + 1j*Y + 1j*Z)/2
PPM = (-II + 1j*X + 1j*Y - 1j*Z)/2
PMM = (-II + 1j*X - 1j*Y - 1j*Z)/2
MMM = (-II - 1j*X - 1j*Y - 1j*Z)/2
MMP = (-II - 1j*X - 1j*Y + 1j*Z)/2
MPP = (-II - 1j*X + 1j*Y + 1j*Z)/2
PMP = (-II + 1j*X - 1j*Y + 1j*Z)/2
MPM = (-II - 1j*X + 1j*Y - 1j*Z)/2
目前我有一个函数 operator_groups，它为每个 j 循环从该组中抽取一个随机矩阵，并将其附加到列表 sequence 中。然后使用在所有单独的 j 循环之间绘制的随机矩阵进行一些计算，这与我们在这里的讨论无关。在 j 循环结束时，列表 sequence 的元素序列被反转，然后执行 linalg.multi_dot ，然后采用它的厄密共轭（因此 .conj().T)
def operator_groups():
return random.choice([II, X, Y, Z, PPP, PPM, PMM, MMM, MMP, MPP, PMP, MPM])
for i in range(1, sample_size+1, 1):
sequence = []
for j in range(1, some_number, 1):
noise = operator_groups()
"""some matrix calculations here"""
sequence.append(noise)
sequence_inverse = np.linalg.multi_dot(sequence[::-1]).conj().T
现在我希望通过在一个大矩阵中执行 j 循环来向量化 i 循环 。 noise 现在是从组中随机抽取的 N 个矩阵（而不是仅 1 个矩阵）的 ndarray，每个矩阵代表 j 的迭代，但并行化。 代码现在看起来像这样。
def operator_groups(sample_size):
return random.sample([II, X, Y, Z], sample_size)
sequence = []
for j in range(1, some_number, 1):
noise = operator_groups(sample_size)
sequence.append(noise)
sequence_inverse = np.linalg.multi_dot(sequence[::-1]).conj().T
既然 sequence 是一个多维数组，我在将多维 noise 附加到 sequence 中的正确顺序时遇到了问题，随后也遇到了问题对 sequence 的倒数执行 linalg.multidot 并取其厄米特共轭。在这种情况下，我想 multi_dot 与每个 j 循环对应的每个 j 行的所有存储的 noise 的倒数。 如何做到这一点？
我将在下面提供一些 "pseudo-examples" 来进一步证明我的问题，使用 j = 3。为简单起见，这里我将只提供 "randomly draw" X, Y, Z。
非矢量化案例：
i = 1
sequence = []
j = 1
noise = X (randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [X]
j = 2
noise = Y (randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [X, Y]
j = 3
noise = Z (randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [X, Y, Z]
end of j loop
take reverse order: [Z, Y, X]
do multi_dot: [ZYX] (Note: dot products, not element-wise multiplication)
take conjugate and tranpose(to get Hermitian): [ZYX].conj().T = [ZYX.conj().T]
矢量化案例（假设我在做 sample_size = 3）：
sequence = []
j = 1
noise = [X,Z,Y](randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [[X,Z,Y]]
j = 2
noise = [Z,Y,X] (randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [[X,Z,Y],
[Z,Y,X]]
j = 3
noise = [Z,Z,X] (randomised)
sequence.append(noise)
sequence = [[X,Z,Y],
[Z,Y,X],
[Z,Z,X]]
end of j loop
take reverse order: [[Z,Z,X],
[Z,Y,X],
[X,Z,Y]]
do multi_dot(along an axis,
which is what I have trouble with): [ZZX,ZYZ,XXY]
take conjugate and tranpose(to get Hermitian):
[ZZX,ZYZ,XXY].conj().T = [ZZX.conj().T, ZYZ.conj().T, XXY.conj().T]
我希望这些例子能说明我的问题
使用你的两个随机选择器：
In [13]: operator_groups() # returns one (2,2) array
Out[13]:
array([[-0.5+0.5j, 0.5-0.5j],
[-0.5-0.5j, -0.5-0.5j]])
In [14]: operator_groups1(4) # returns a list of (2,2) arrays
Out[14]:
[array([[0.+0.j, 1.+0.j],
[1.+0.j, 0.+0.j]]), array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]]), array([[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]])]
您的循环创建了一个数组列表：
In [15]: seq=[]
...: for j in range(4):
...: seq.append(operator_groups())
...:
In [16]: seq
Out[16]:
[array([[-0.5-0.5j, -0.5+0.5j],
[ 0.5+0.5j, -0.5+0.5j]]), array([[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]]), array([[-0.5+0.5j, -0.5-0.5j],
[ 0.5-0.5j, -0.5-0.5j]]), array([[-0.5-0.5j, 0.5-0.5j],
[-0.5-0.5j, -0.5+0.5j]])]
可以给multi_dot顺序打点：
In [17]: np.linalg.multi_dot(seq)
Out[17]:
array([[0.-1.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 0.+1.j]])
如果我们使用组选择器构建序列，我们会得到一个列表列表：
In [18]: seq=[]
...: for j in range(4):
...: seq.append(operator_groups1(3))
...:
In [19]: seq
Out[19]:
[[array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]]), array([[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[0.+0.j, 1.+0.j],
[1.+0.j, 0.+0.j]])], [array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]]), array([[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[0.+0.j, 1.+0.j],
[1.+0.j, 0.+0.j]])], [array([[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]]), array([[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]])], [array([[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]]), array([[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]]), array([[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]])]]
In [20]: len(seq)
Out[20]: 4
In [21]: len(seq[0])
Out[21]: 3
我们可以 'stack' 内部列表，创建一个包含 (n,2,2) 个数组的列表：
In [22]: seq1 = [np.stack(el) for el in seq]
In [23]: seq1
Out[23]:
[array([[[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]],
[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]],
[[ 0.+0.j, 1.+0.j],
[ 1.+0.j, 0.+0.j]]]), array([[[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]],
[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]],
[[ 0.+0.j, 1.+0.j],
[ 1.+0.j, 0.+0.j]]]), array([[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, 1.+0.j]],
[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]],
[[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]]]), array([[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, 1.+0.j]],
[[ 1.+0.j, 0.+0.j],
[ 0.+0.j, -1.+0.j]],
[[ 0.+0.j, -0.-1.j],
[ 0.+1.j, 0.+0.j]]])]
然后我们可以在此列表上重复应用 matmul：
In [25]: res = seq1[0]
...: for el in seq1[1:]:
...: res = res@el
...:
...:
In [26]: res
Out[26]:
array([[[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]],
[[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]],
[[1.+0.j, 0.+0.j],
[0.+0.j, 1.+0.j]]])
实际上 matmul 类似于 dot，但它将主要维度视为 'batch' 维度。
对于随机选择，比较不同的结果很痛苦（除非我设置种子），所以我将验证留给你。