如何使用 fft 在频域中向正弦波添加相移？

Question

我想在频域中移动一个正弦波

我的想法是：

傅里叶变换
在频域中添加 pi 的相移
逆傅里叶变换

在代码中：

t=np.arange(0, 6 , 0.001)
values = A*np.sin(t)
ft_values= np.fft.fft(values)
ft_values_phase=ft_values+1j*np.pi
back_again= np.fft.ifft(ft_values_phase)
plt.subplot(211)
plt.plot(t,values)
plt.subplot(212)
plt.plot(t,back_again)

我期待两幅图像，其中一个波移动了 pi，但是我得到了这个结果

（无相移）：

感谢您的帮助！

Answer 1

你没有进行相移。

你所做的是添加一个 6000 向量，比如 P，具有常数值 P(i) = j π 到V, v.

的FFT

让我们写Ṽ = V + P.

由于 FFT（和 IFFT）的线性，您所说的 back_again 是

ṽ = IFFT(Ṽ) = IFFT(V) + IFFT(P) = v + p

当然，p = IFFT(P) 是差异 values-back_again — 现在，让我们检查什么是 p...

In [51]: P = np.pi*1j*np.ones(6000) 
    ...: p = np.fft.ifft(P) 
    ...: plt.plot(p.real*10**16, label='real(p)*10**16') 
    ...: plt.plot(p.imag, label='imag(p)') 
    ...: plt.legend();

如您所见，您通过添加 ṽ 的实数分量修改了 values，它本质上是 IFFT 计算中的数字噪声（因此没有变化情节，它给你 back_again 的 real 部分）和单个 imaginary 尖峰，它的高度毫不奇怪地等于 π，因为t=0.

常数的变换是 ω=0 处的尖峰，常数（在频域中）的反变换是 t=0 处的尖峰.

正如我在删除的评论中所说，如果您不对每个 FFT 项添加一个常数，而是 将它们乘以 一个常数也将信号乘以相同的常数（记住，FFT 和 IFFT 是线性的）。

要做你想做的事，你必须记住时域中的偏移只是（周期性）信号与时移尖峰的（循环）卷积，所以你必须乘以 FFT移位尖峰的 FFT 信号。

因为狄拉克分布的傅立叶变换 δ(t-a) 是 exp(-iωa) 你必须乘以每一项通过频率相关项对信号进行 FFT。

一个例子

一些预赛

In [61]: import matplotlib.pyplot as plt 
    ...: import numpy as np                                                                                           
In [62]: def multiple_formatter(x, pos, den=60, number=np.pi, latex=r'\pi'): 
             ... # search on SO for an implementation
In [63]: def plot(t, x): 
    ...:     fig, ax = plt.subplots() 
    ...:     ax.plot(t, x) 
    ...:     ax.xaxis.set_major_formatter(plt.FuncFormatter(multiple_formatter)) 
    ...:     ax.xaxis.set_major_locator(plt.MultipleLocator(np.pi / 2)) 
    ...:     ax.xaxis.set_minor_locator(plt.MultipleLocator(np.pi / 4))

计算以 n 为中心的 Dirac 分布的离散 FT 的函数 N

In [64]: def shift(n, N): 
    ...:     s = np.zeros(N) 
    ...:     s[n] = 1.0 
    ...:     return np.fft.fft(s)

让我们绘制一个信号和移动后的信号

In [65]: t = np.arange(4096)*np.pi/1024                                                                               
In [66]: v0 = np.sin(t)                                                                                               
In [67]: v1 = np.sin(t-np.pi/4)                                                                                       
In [68]: f, a = plot(t, v0)                                                                                           
In [69]: a.plot(t, v1, label='shifted by $\pi/4$');                                                                   
In [70]: a.legend();

现在计算正确尖峰的 FFT（注意 π/4 = (4π)/16），移位信号的 FFT，FFT 的 IFFT s.s。最后绘制我们的结果

In [71]: S = shift(4096//16-1, 4096)                                                                                  
In [72]: VS = np.fft.fft(v0)*S                                                                                        
In [73]: vs = np.fft.ifft(VS)                                                                                         
In [74]: f, ay = plot(t, v0)                                                                                          
In [75]: ay.plot(t, vs.real, label='shifted in frequency domain');                                                    
In [76]: ay.legend();

Answer 2

很好，很有帮助！对于任何想做同样事情的人，这里是一个 python 文件：


import numpy as np
from matplotlib.pyplot import plot, legend
def shift(n, N): 
    s = np.zeros(N) 
    s[n] = 1.0 
    return np.fft.fft(s)  
t = np.linspace(0, 2*np.pi,1000) 
v0 = np.sin(t)                                                                                               
S = shift(1000//4, 1000)  # shift by pi/4
VS = np.fft.fft(v0)*S 
vs = np.fft.ifft(VS)
plot(t, v0 , label='original' )
plot(t,vs.real,label='shifted in frequency domain')
legend()

如何使用 fft 在频域中向正弦波添加相移？

How to add a phase shift to a sin wave in the frequency domain with fft?

python

numpy

fft

phase