了解 Isabelle 中的导数（“在 .. 之内”的意思）

Question

这是一个关于 Isabelle 库中导数概念的问题。

我正在尝试理解 (f has_field_derivative D x) (at x within S) 的含义。我知道 (at x within S) 是一个过滤器，但直觉上我在想下面的语句是真的

lemma DERIV_at_within: 
"(∀x ∈ S. (f has_field_derivative D x) (at x)) 
   = (∀x. (f has_field_derivative D x) (at x within S))"

如果不是，我还应该如何解释 (at x within S) 在导数的上下文中？

Answer 1

at x within A是x的尖邻域，与A相交。例如，at_right是at x within {x<..}的缩写，即x的右邻域。这允许您表达单边导数。

偶尔也会看到像∀x∈{a..b}. (f has_field_derivative f' x) (at x within {a..b})这样的假设。这意味着 f 与导数 f' 在 a 和 b 之间是可微的，但是边缘处的导数（即在 a 和 b ) 只需要是单方面的。

另请注意 at x = at x within UNIV。此外，如果 A 是一个包含整数 x 的开集，您只需 at x within A = at x.

通常，如果您想要单边限制之类的东西（或者，在更高的维度中，如果您想以某种方式限制接近的方向），您只需要 has_field_derivative 和 at x within … .

Understanding derivatives in Isabelle (meaning of `at .. within`)