为什么 agda with-abstraction 不删除某些子句？

Question

我正在尝试在 Ulf Norell 和 James Chapman 编写的 Dependently Typed Programming in Agda 教程（第 23 页）中写一个定理作为练习，但我不明白关于 with 的一个可能非常简单的事情。

基本上我有这些定义

data   False : Set where
record True  : Set where

data Bool : Set where
  true  : Bool
  false : Bool

isTrue : Bool -> Set
isTrue true  = True
isTrue false = False

satisfies : {A : Set} -> (A -> Bool) -> A -> Set
satisfies p x = isTrue (p x)

data List (A : Set) : Set where
  []   : List A
  _::_ : (x : A)(xs : List A) -> List A

infixr 30 _:all:_
data All {A : Set} (P : A -> Set) : List A -> Set where
  all[]   : All P []
  _:all:_ : forall {x xs} -> P x -> All P xs -> All P (x :: xs)

filter : {A : Set} -> (A -> Bool) -> List A -> List A
filter p [] = []
filter p (x :: xs) with p x
... | true  = x :: filter p xs
... | false = filter p xs

我正在努力解决这个问题

filter-all-lem : ∀ {p xs} -> All (satisfies p) (filter p xs)
filter-all-lem {p} {[]} with filter p []
... | [] = all[]
... | f :: fs = ?
filter-all-lem {p} {x :: xs} = ?

在第二个洞我还没有尝试过任何东西，这可能不是更好的方法，但我的问题不是这个。

filter p []是filter的第一种情况。它扩展为 []。那么为什么 agda 不能推断 f :: fs 这种情况是不可能的呢？统一应该很容易解决这个问题。但是，如果我尝试完全删除该子句或使用荒谬的模式，我会收到错误消息，因为并未涵盖所有可能性。

如果 agda 的统一规则不自动执行此操作，我如何强制它知道它？也许重写？（我现在不知道如何在 agda 中重写）

Answer 1

在这种情况下不需要with filter p []，正如你所说，你已经可以推断出filter p [] = []。所以你可以写

filter-all-lem {p} {[]} = all[]

为了理解子句，了解 Agda 如何扩展这些子句会有所帮助，这是一个局部函数，其中匹配的东西（在本例中为 filter p []）是一个新参数。所以你得到

filter-all-lem {p} {[]} = helper {p} (filter p [])
  where
  helper :: ∀ {p} ys -> All (satisfies p) ys
  helper [] = all[]
  helper (f :: fs) = ?

而在帮助器内部，您实际上不知道列表是空的。标准库中有 inspect 习语以等式的形式保存这些知识，但你在这里不需要它。

作为证明有关使用 with 的函数的一般规则（例如 filter (x :: xs)），您的证明中应该具有与子句完全相同的结构，或者包含包含以下内容的子句匹配依赖类型。

为什么 agda with-abstraction 不删除某些子句？

Why agda with-abstraction don't erase some clauses?

with-statement

agda

unification