是否有一种快速算法来确定充满变量的矩阵的行列式？
Is there a fast algorithm for determinant of matrix filled with variables?
我正在拼命寻找一种多项式时间算法，它可以计算符号 (n x n) 矩阵的行列式。
问题是，矩阵上三角的每个条目都包含一个不同的变量（例如 x_1、x_2、...）。
在对角线上，每个条目都是一个多项式，由最多 (n-1) 个这些变量的负和组成（例如 (- x_1 - x_2 - x_3), (- x_3 - x_2), ...).
但是它始终是对称矩阵，因此如果沿对角线镜像，则条目是相同的。也许这 属性 有助于运行时？
我已经考虑过 LU 分解算法，但恐怕它只适用于纯数值矩阵，还是我错了？
有人可以帮我吗？
@MattTimmermans 评论回答了问题：
"LU (not LUP) decomposition works fine symbolically. Every cell contains a rational function, and the set of rational functions is closed over all the required operations ( *, /, +, -)"
这似乎意味着我可以按原样使用 LU 分解算法，但是每当 LU 分解算法使用这些运算符之一时，必须将此运算符作为子函数用于多项式。
非常感谢！
我正在拼命寻找一种多项式时间算法，它可以计算符号 (n x n) 矩阵的行列式。
问题是，矩阵上三角的每个条目都包含一个不同的变量（例如 x_1、x_2、...）。
在对角线上，每个条目都是一个多项式，由最多 (n-1) 个这些变量的负和组成（例如 (- x_1 - x_2 - x_3), (- x_3 - x_2), ...).
但是它始终是对称矩阵，因此如果沿对角线镜像，则条目是相同的。也许这 属性 有助于运行时？
我已经考虑过 LU 分解算法，但恐怕它只适用于纯数值矩阵，还是我错了？
有人可以帮我吗？
@MattTimmermans 评论回答了问题：
"LU (not LUP) decomposition works fine symbolically. Every cell contains a rational function, and the set of rational functions is closed over all the required operations ( *, /, +, -)"
这似乎意味着我可以按原样使用 LU 分解算法，但是每当 LU 分解算法使用这些运算符之一时，必须将此运算符作为子函数用于多项式。
非常感谢！