GPflow分类：后验方差的解释

Question

在tutorial on multiclass classification on the GPflow website, a Sparse Variational Gaussian Process (SVGP) is used on a 1D toy example. As is the case for all other GPflow models中，SVGP模型有一个方法predict_y(self, Xnew)，它returns点Xnew处保留数据的均值和方差。

从教程中可以清楚地看出，从 predict_y 中解压缩的第一个参数是三个 classes（单元格 [7] 和 [8])，在下图中的第二个面板中显示为彩色线条。然而，作者没有详细说明可以从 predict_y 中解包的第二个参数，即预测的方差。在回归设置中，它的解释对我来说很清楚，因为在这种情况下后验预测分布将是高斯分布。

但是我不明白这里的解释是什么。特别是，我想知道如何使用此度量来构建误差条，表示对任何新数据点的 class 预测的不确定性。

我稍微修改了教程的代码，为下图添加了一个额外的面板：第三个面板以黑色显示最大标准偏差（从 predict_y 获得的方差的平方根）。这显然是衡量不确定性的一个很好的衡量标准，最高可能值为 0.5 可能也不是巧合，但我找不到它是如何计算的以及它代表什么。

包含所有代码的完整笔记本 here。

def plot(m):
f = plt.figure(figsize=(12,8))
a1 = f.add_axes([0.05, 0.05, 0.9, 0.5])
av = f.add_axes([0.05, 0.6, 0.9, 0.1])
a2 = f.add_axes([0.05, 0.75, 0.9, 0.1])
a3 = f.add_axes([0.05, 0.9, 0.9, 0.1])


xx = np.linspace(m.X.read_value().min()-0.3, m.X.read_value().max()+0.3, 200).reshape(-1,1)
mu, var = m.predict_f(xx)
mu, var = mu.copy(), var.copy()
p, v = m.predict_y(xx)

a3.set_xticks([])
a3.set_yticks([])

av.set_xticks([])

lty = ['-', '--', ':']

for i in range(m.likelihood.num_classes):
    x = m.X.read_value()[m.Y.read_value().flatten()==i]
    points, = a3.plot(x, x*0, '.')
    color=points.get_color()
    a1.fill_between(xx[:,0], mu[:,i] + 2*np.sqrt(var[:,i]), mu[:,i] - 2*np.sqrt(var[:,i]), alpha = 0.2)
    a1.plot(xx, mu[:,i], color=color, lw=2)

    a2.plot(xx, p[:,i], '-', color=color, lw=2)

av.plot(xx, np.sqrt(np.max(v[:,:], axis = 1)), c = "black", lw=2)

for ax in [a1, av, a2, a3]:
  ax.set_xlim(xx.min(), xx.max())

a2.set_ylim(-0.1, 1.1)
a2.set_yticks([0, 1])
a2.set_xticks([])

plot(m)

Answer 1

Model.predict_y() 呼叫 Likelihood.predict_mean_and_var()。如果您查看后一个函数 [1] 的文档，您会发现它所做的只是计算预测分布的均值和方差。即，我们首先计算边际预测分布 q(y) = \int p(y|f) q(f) df，然后计算 q(y).

的均值和方差

对于高斯分布，均值和方差可以彼此独立指定，并且它们具有作为点预测和不确定性的解释。对于伯努利似然，均值和方差都完全由单个参数p决定。分布的均值就是事件发生的概率，已经告诉我们不确定性了！方差并没有提供更多。

但是，方差是衡量不确定性的一个很好的指标，你说得对，其中越高意味着更多的不确定性。作为 p 函数的熵看起来非常相似（尽管两者在边缘附近的行为不同）：

p = np.linspace(0.001, 1 - 0.001, 1000)[:, None]
q = 1 - p
plt.plot(p, -p * np.log(p) - q * np.log(q), label='entropy')
plt.plot(p, p * q, label='variance')
plt.legend()
plt.xlabel('probability')

[1] https://github.com/GPflow/GPflow/blob/b8ed8332549a375da8658a1117470ac86d823e7f/gpflow/likelihoods.py#L76

GPflow分类：后验方差的解释

GPflow classification: interpretation of posterior variance

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