CDF取决于核密度估计中使用的带宽？

Question

我不知道为什么当我在核密度估计中改变带宽时cdf有不同的值。在下面的代码中，我从高斯分布中生成随机数，并在选择不同的带宽 (h) 时估计数据的核密度。当我整合 pdf 时，我得到或多或少远离 1 的不同值。因此，CDF 似乎取决于核密度估计中使用的带宽。然而，我相信内核密度估计中的因子 1/nh 确保 pdf 积分为 1。如果带宽是问题，我如何确定它以确保生成的 pdf 积分为 1？

g<-1
n<-1000
set.seed(g)
df <- data.frame(x=sort(rnorm(n,0,1))) 

library(functional)

gaussianKernel <- function(u) exp(-u^2/2)/(2*pi)^.5

densityFunction <- function(x, df, ker, h){
    difference = t(t(df) - x)/h
    W = sum(apply(difference, 1, ker)) / (nrow(df)*h)
}

myDensityFunction <- Curry(densityFunction, df=df, ker=gaussianKernel, h=2)

vect<-vector()
for (i in 1:length(df$x)){
f<-myDensityFunction(df$x[i])
vect<-c(vect,f)
}

f <- approxfun(df$x, vect, yleft = 0, yright = 0)
integrate(f, -Inf, Inf)

Answer 1

关于带宽的影响，你是对的。随着带宽增加，估计器的偏差增加，而方差减小。计算带宽有一些经验法则。我在下面给出了一个，你可以看到在适当的带宽下，估计的密度曲线接近正态分布。向量化你的函数会给你一个加速

kernel <- function(u) exp(-u^2/2) / (2*pi)^.5
dens <- Vectorize(function(x, df, ker, h) {
    1/(h*nrow(df)) * sum(ker((df-x)/h))
}, vec="x")

b <- 1.06*(min(1, IQR(df$x)/1.34))*n^(-1/5)  # bandwidth rule-of-thumb
vect <- dens(df$x, df=df, kernel, b)
f <- approxfun(df$x, vect, yleft=0, yright=0)
integrate(f, -Inf, Inf)
# 0.9991092 with absolute error < 0.00012

nvals <- dnorm(df$x)
plot(df$x, nvals)
points(df$x, vect, col="azure3")

CDF取决于核密度估计中使用的带宽？

CDF depending on the bandwidth used in kernel density estimation?

kernel

r

bandwidth

cumulative-sum

kernel-density