如何找到振荡器的共振频率？

Question

我目前正在尝试使用 OpenModelica 模拟声学谐振器，我想知道如何robustly/nicely 计算它们的谐振频率。

作为一个简化的例子（没有媒体等），我已经实现了一个双亥姆霍兹谐振器，本质上是两个由管道（惯性）连接的体积（顺应性）。实际系统由更多连接在一起的组件组成。压力和体积流量（均为复值）的振荡遵循正弦表达式，具有共振 angular 频率 w。这产生了 4 个压力和 4 个体积流量的 8 个方程（在端点和柔量-惯性连接点）。

这是我每晚在 OpenModelica 中求解的 Modelica 代码：

model Helmholtz_test "Simple test of double Helmholtz resonator"
  constant Complex j = Modelica.ComplexMath.j;
  ComplexU U_a, U_b, U_c, U_d "Oscillating volume flow rate";
  ComplexPressure p_a, p_b, p_c, p_d "Oscillating pressure";
  Modelica.SIunits.AngularFrequency w(start=2000, fixed=false);
  Compliance C = 7.14e-9;
  Inertance L = 80;
initial equation
  p_a.re = 1e+2; //Simulation finishes, values reasonable, only during initialisation we get:
  //Matrix singular!
  //under-determined linear system not solvable!
  //The initialization finished successfully without homotopy method.
equation
//BCs on ends
  U_a = Complex(0);
  U_d = Complex(0);
//Left compliance a-b;
  p_a = p_b;
  p_a = -1 / (j * w * C) * (U_b - U_a);
//Inertance b-c
  U_b = U_c;
  p_c - p_b = -j * w * L * U_b;
//Right compliance c-d
  p_c = p_d;
  p_c = -1 / (j * w * C) * (U_d - U_c);
//Additional condition for Eigenvalue
  der(w) = 0;
//w^2 = 2/(L*C); //The "real" resonance frequency
  annotation(
    experiment(StartTime = 0, StopTime = 1, Tolerance = 1e-06, Interval = 0.002));
end Helmholtz_test;

具有附加定义

operator record ComplexPressure =
  Complex(redeclare Modelica.SIunits.Pressure re,
           redeclare Modelica.SIunits.Pressure im)
  "Complex pressure";

operator record ComplexU = 
  Complex(redeclare Modelica.SIunits.VolumeFlowRate re,
           redeclare Modelica.SIunits.VolumeFlowRate im)
  "Complex volume flow rate";

type Compliance = Real(final quantity = "Compliance", final unit = "m3.Pa-1");

type Inertance = Real(final quantity="Inertance", final unit="kg.m-4");

在纸上计算，系统的共振 angular 频率为 w=\sqrt{\frac{2}{LC}}（在本例中为 ~1871 1/s），因此系统具有非零解。

为了避免解算器进入无趣的零解，我必须在一点添加一些刺激，因此初始方程 p_a.re = 1e+2。

现在模拟这个，因为w是一个附加变量，我需要引入一个附加方程，选择der(w) = 0;作为共振在这种情况下频率是恒定的。不幸的是，这使得无法达到更多 complex/realistic 的情况，其中共振频率随时间变化，例如随着温度或其他变化的值。

Q1: 有没有更好的方法来提供共振的附加方程 frequency/calculate 这个系统的特征值？

此外，模拟的成功取决于初始刺激的值（在某些范围内这会失败，或者我在每个时间步都得到奇异方程）。此外，实际上问题是在初始化阶段解决的。在最好的情况下，我得到输出

Simulation finishes, values reasonable, only during initialisation we get:
Matrix singular!
under-determined linear system not solvable!
The initialization finished successfully without homotopy method.

问题 2：有没有办法避免奇点 and/or 干净地处理这个初始化（例如 homotopy）？ 虽然这在简化的示例中足够有效（并导致 w 的正确值），但我担心对于更多 complex/realistics 模型，我可能会遇到更多有问题的数字困难。我查看了 homotopy，但我真的看不出如何在此处应用它。我想以某种方式将它应用于 w，但 Fritzson 的书甚至似乎明确警告不要在导数表达式上使用它，除此之外，似乎只有 w.start 值会出现。

Answer 1

什么是类ComplexU、ComplexPressure、Compliance和Inertance？我试过运行你的模型，但这些似乎是你正在使用的另一个库的一部分。我用 MSL 或原始类型替换了它们。

此外，我不太了解该模型应该如何工作，您只定义了一个 initial equation 块，没有实际的方程式。我试过以下型号：

model Helmholtz_test "Simple test of double Helmholtz resonator"
  constant Complex j = Modelica.ComplexMath.j;
  Complex U_a, U_b, U_c, U_d "Oscillating volume flow rate";
  Complex p_a, p_b, p_c, p_d "Oscillating pressure";
  parameter Modelica.SIunits.AngularFrequency w(start=2000, fixed=false);
  Modelica.SIunits.AngularFrequency real_w; //The "real" resonance frequency
  Real C = 7.14e-9;
  Real L = 80;
initial equation
  p_a.re = 1e+2;
equation
  U_a = Complex(0);
  U_d = Complex(0);
  p_a = p_b;
  p_a = -1 / (j * w * C) * (U_b - U_a);
  U_b = U_c;
  p_c - p_b = -j * w * L * U_b;
  p_c = p_d;
  p_c = -1 / (j * w * C) * (U_d - U_c);
  real_w = abs(sqrt(2/(L*C))); //The "real" resonance frequency
end Helmholtz_test;

这就是你想要的吗？

您可以将 w 与 real_w 进行比较。一种是求解系统计算的，一种是方程计算的。

如您所见，标准求解器很费劲，但总枢轴求解器设法求解了系统。它会聚到另一边 (p_d.re = -1e+2;) 所以也许这是正确的值？

编辑：我将模型更改为正确的模型，我摆弄了初始方程式，现在一切正常！主求解器仍然失败，但 total pivot 找到了解决方案。

Answer 2

我想补充一件事关于失败的非线性求解器！如果您正在处理最新的夜间构建，您应该会收到以下消息：

Nonlinear iteration variables with default zero start attribute in NLSJac8. (1)
========================================
1: U_b.im:VARIABLE()  "Imaginary part of complex number" type: Real 
Nonlinear iteration variables with predefined start attribute in NLSJac8. (1)
========================================
1: w:VARIABLE(start = 2000.0 unit = "rad/s" fixed = false )  type: Real Info: Only non-linear iteration variables in non-linear eqation systems require start values. All other start values have no influence on convergence and are ignored. Use "-d=dumpLoops" to show all loops. In OMEdit Tools->Options->Simulation->OMCFlags, in OMNotebook call setCommandLineOptions("-d=dumpLoops")

这里报告的每个变量都应该有一个起始值，你可以看到w已经有一个起始值，但是U_b的虚部少了一个。声明时，您可以将其更改为 U_b(im(start=10))。尽管您知道结果会很小，但它必须非常大才能避免奇点。

如何找到振荡器的共振频率？

How to find a resonance frequency of an oscillator?

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