应用函子。详细输入 <*> 和 <$> 的签名

Question

我们有签名：

(<$>) :: Functor f     =>   (a -> b) -> f a -> f b
(<*>) :: Applicative f => f (a -> b) -> f a -> f b

让我们来玩一下：

(/)  <$> Just 5       <*> Just 2
=> Just 2.5

((/) <$> Just 5     ) <*> Just 2
=> Just 2.5

( Just (\x -> 5/x ) ) <*> Just 2
=> Just 2.5

问题：

((/) <$> Just 5) <*> Just 2
^^^^^^^^^^^^^^^^     @@@@@@

(<$>) :: Functor f     =>   (a -> b) -> f a -> f b
                                               ^^^
(<*>) :: Applicative f => f (a -> b) -> f a -> f b
                          ^^^^^^^^^^    @@@

我认为 ^^^ 部分应按其类型匹配。为什么 return 类型的 <$> 在视觉上与签名中的 <*> 输入类型不匹配？

我在这里想念什么？谢谢。

Answer 1

确实匹配，但是(<$>)和(<*>)函数的f、a和b是变量，变量不一样每次使用该函数时的变量。

因此，将函数定义为更有意义：

(<$>) :: Functor f     => (a -> b)   -> f a -> f b
(<*>) :: Applicative g => g (c -> d) -> g c -> g d

所以这意味着 ^ 和 @ 确实匹配：

((/) <$> Just 5) <*> Just 2
^^^^^^^^^^^^^^^^     @@@@@@

(<$>) :: Functor f     => (a -> b)   -> f a -> f b
                                               ^^^
(<*>) :: Applicative g => g (c -> d) -> g c -> g d
                          ^^^^^^^^^^    @@@

所以我们知道 (/) <$> Just 5 的类型是 f b，g (c -> d)，而 Just 2 的类型是 g c。由于 Just 2 的类型为 Just 2 :: Num n => Maybe n，因此这意味着 g ~ Maybe 和 c ~ n（此处 x ~ y 表示 x 和 y 是同类型）。此外，我们可以推导出 f b ~ g (c -> d)，因此 f ~ Maybe，以及 b ~ (c -> d).

我们可以进一步分析(/) <$> Just 5表达式。我们知道 Just 5 的类型是 Num m => Maybe m，所以这意味着 a ~ m。函数 (/) 的类型为 (/) :: Fractional k => k -> k -> k，因此这意味着 a ~ b ~ k ~ m，因此我们知道 (/) <$> Just 5 的类型为 (/) <$> Just 5 :: (Num m, Fractional m) => Maybe (m -> m)，或者更简洁的 (/) <$> Just 5 :: Fractional m => Maybe (m -> m) ]（Fractional m 表示 Num m）。

因为我们已经发现 b ~ (c -> d)，所以这意味着 m ~ c ~ d，因此表达式的类型是：((/) <$> Just 5) <*> Just 2 :: Fractional m => Maybe m.

应用函子。详细输入 <*> 和 <$> 的签名

Applicative functors. Type signatures of <*> and <$> in detail

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