Coq 中的无限递归类型（用于 Bananas 和 Lenses）

Question

我希望看到 Bananas、Lenses 等的 Coq 版本。它们建立在 posts 的优秀系列博客 sumtypeofway Introduction to Recursion schemes

中

然而，博客 post 在 Haskell 中，它允许无限非终止递归，因此对 Y 组合器非常满意。哪个 Coq 不是。

特别是，定义取决于类型

newtype Term f = In { out :: f (Term f) }

构建无限类型f (f (f (f ...)))。 Term f 允许使用 Term 类型族对变形、同态、变形等进行非常漂亮和简洁的定义。

尝试将其移植到 Coq 中

Inductive Term f : Type := {out:f (Term f)}.

给了我预期的

Error: Non strictly positive occurrence of "Term" in "f (Term f) -> Term f".

问：在 Coq 中形式化上述 Haskell 术语类型的好方法是什么？

上面的 f 是 Type->Type 类型，但也许它太笼统了，可能有一些方法可以限制我们使用归纳类型，这样 f 的每个应用程序都是减少？

也许有人已经在 Coq 中实现了 Banans, Lenses, Envelopes 的递归方案？

Answer 1

我认为流行的解决方案是将函子编码为 "containers", the intro of this paper is a good starting point: https://arxiv.org/pdf/1805.08059.pdf 这个想法很古老（论文的意思是给出一个独立的解释），你可以从那篇论文中追寻参考文献，但是什么我在粗略搜索中发现，如果您不熟悉类型论或范畴论，可能很难理解。

简而言之，我们使用以下类型代替 Type -> Type：

Set Implicit Arguments.
Set Contextual Implicit.

Record container : Type := {
  shape : Type;
  pos : shape -> Type;
}.

粗略地，如果你想象一个"base functor" F 的递归类型 Fix F，shape 描述了 F 的构造函数，并且对于每个构造函数，pos枚举了其中的"holes"。所以 List

的基函子

data ListF a x
  = NilF       -- no holes
  | ConsF a x  -- one hole x

由这个容器给出：

Inductive list_shape a :=
  | NilF : list_shape a
  | ConsF : a -> list_shape a.

Definition list_pos a (s : list_shape a) : Type :=
  match s with
  | NilF    => False (* no holes *)
  | ConsF _ => True  (* one hole x *)
  end.

Definition list_container a : container := {|
  shape := list_shape a;
  pos := fun s => list_pos s;
|}.

关键是这个容器描述了一个严格正的函子：

Inductive ext (c : container) (a : Type) : Type := {
  this_shape : shape c;
  this_rec : pos c this_shape -> a;
}.

Definition listF a : Type -> Type := ext (list_container a).

所以固定点构造可以采用容器而不是 Fix f = f (Fix f)：

Inductive Fix (c : container) : Type := MkFix : ext c (Fix c) -> Fix c.

并非所有仿函数都可以编码为容器（延续仿函数就是一个典型的例子），但您不会经常看到它们与 Fix.

一起使用

完整要点：https://gist.github.com/Lysxia/21dd5fc7b79ced410b129f31ddf25c12

Coq 中的无限递归类型（用于 Bananas 和 Lenses）

Infinite recursive types in Coq (for Bananas and Lenses)

coq

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