如何在 FiPy 中编写带有自变量的方程项？

Question

我正在寻找使用 FiPy 求解扩散方程并阅读了他们的一些文档，但似乎找不到任何与编写扩散项相关的内容，该扩散项包含作为自变量函数的附加项 (即 space)。我发现最接近的是 FAQ，他们建议将附加术语重写为 ConvectionTerm。但是，我认为这仅适用于附加项是解变量而不是自变量的函数的情况。例如，我正在尝试用以下扩散项求解一维扩散方程（其中导数为 w.r.t。自变量 x，y 是解变量）：

D * sin(x) * Div_x {sin(x) * Grad_x {y}}

我觉得这是一个非常简单的表达式，但我找不到用 FiPy 表示法表达它的方法。任何帮助将不胜感激！

确切代码：

from fipy import Variable,FaceVariable,CellVariable,Grid1D,ImplicitSourceTerm,TransientTerm,DiffusionTerm,Viewer,ConvectionTerm
from fipy.tools import numerix

D = 1
c0 = 1
ka = 1
r0 = 1

nx = 100
dx = 2*math.pi/100
mesh = Grid1D(nx=nx, dx=dx)
conc = CellVariable(name="concentration", mesh=mesh, value=0.) # This is the "phi" in the docs
valueLeft = c0
valueRight = 0
conc.constrain(valueRight, mesh.facesRight)
conc.constrain(valueLeft, mesh.facesLeft)
timeStepDuration = 0.9 * dx**2 / (2 * D)
steps = 100
show_per_steps = 50

A = 1 / (r0**2 * numerix.sin(mesh.x)[0])
dA = -(numerix.cos(mesh.x)[0])/(r0**2 * numerix.sin(mesh.x)[0]**2)
dsindA = (numerix.cos(mesh.x)[0])**3/(numerix.sin(mesh.x)[0])**2
eqX = TransientTerm() + ImplicitSourceTerm(ka) == DiffusionTerm(D*A*numerix.sin(mesh.x)[0]) - ConvectionTerm(D*dA*numerix.cos(mesh.x)[0])+ D*conc*dsindA

from builtins import range
for step in range(steps):
    eqX.solve(var=conc, dt=timeStepDuration)
    if __name__ == '__main__' and step % show_per_steps == 0:
        viewer = Viewer(vars=(conc), datamin=0., datamax=c0)
        viewer.plot()

Answer 1

FiPy 允许项的系数是 space 的函数。例如，以下在 FiPy 中工作，

from fipy import Grid1D, CellVariable, Viewer
from fipy import TransientTerm, numerix, DiffusionTerm
from fipy import LinearLUSolver

m = Grid1D(nx=100, Lx=numerix.pi / 4.)

v = CellVariable(mesh=m)
v[:] = m.x**2

eqn = TransientTerm() == DiffusionTerm(numerix.sin(m.x))
vi = Viewer(v, colorbar=None)
vi.plot()
solver = LinearLUSolver()
for i in range(10):
    eqn.solve(v, dt=0.1, solver=solver)
    vi.plot()
    print('step', i)

input('stopped')

在上面，扩散系数是space的函数。 m.x 是保存单元格中心位置的 CellVariable。 numerix 用于启用对 FiPy 变量的操作，其方式与 Numpy 对 Numpy 数组的操作方式相同。

现在，在上面的问题中，导数之外有一个 sin(x)，这在 FiPy 中是不允许的。一切都需要适合导数内部才能与 FiPy 一起工作。因此，我们需要重写该项，以便所有系数都在导数内。对于任何一般情况，我们可以写成

$f \partial_i \left( g \partial_i \phi \right ) = \partial_i \left(g f \partial_i \phi \right ) - \partial_i \left(g \phi \partial_i f \right ) + \phi \partial_i \left( g \partial_i f)$

这允许我们使用扩散、对流和源来表示 FiPy 中的术语。如果 f=sin(x) 和 g=sin(x) 那么 FiPy 代码将是

s = numerix.sin(m.cellCenters)
c = numerix.cos(m.cellCenters)
eqn = ... + DiffusionTerm(D * s[0] * s[0]) - ConvectionTerm(D * s * c) + D * y * (c[0] * c[0] - s[0] * s[0])

... 已包括在内，因为我不知道完整的方程式。

如何在 FiPy 中编写带有自变量的方程项？

How to write equation terms with independent variable in FiPy?

python

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