Rev.v le_antisymmetric

Question

我得出的结论是：

Theorem le_antisymmetric :
  antisymmetric le.
Proof.
  unfold antisymmetric. intros a b H1 H2. generalize dependent a.
  induction b as [|b' IH].
  - intros. inversion H1. reflexivity.
  - intros.

输出：

b' : nat
IH : forall a : nat, a <= b' -> b' <= a -> a = b'
a : nat
H1 : a <= S b'
H2 : S b' <= a
------------------------------------------------------
a = S b'

我的计划是使用 le:

的传递性

a <= b -> b <= c -> a <= c

并替换 a := a, b := (S b') 和 c := a.

所以我们会得到：

a <= (S b') -> (S b') <= a -> a <= a

我将使用 H1 和 H2 作为所需的 2 个假设并得到 Ha：a <= a。然后对其进行反演，得到唯一的构建方式 this is a = a.

但是我应该使用什么语法将传递性与我的 2 个假设应用以获得 Ha？

Answer 1

你对 b 的第一次归纳似乎没有必要。考虑 le:

Inductive le (n : nat) : nat -> Prop :=
    le_n : n <= n | le_S : forall m : nat, n <= m -> n <= S m

您应该先检查 H1。如果是le_n，那就是相等了，就完了。如果是 le_S，那么大概是不可能的。

intros a b [ | b' H1] H2.
- reflexivity.

这给我们留下了

a, b, b' : nat (* b is extraneous *)
H1 : a <= b'
H2 : S b' <= a
______________________________________(1/1)
a = S b'

现在，传递性有意义。它可以给你S b' <= b'，这是不可能的。您可以使用归纳法（我认为）得出矛盾，也可以使用现有的引理。整个证明就是这样。

intros a b [ | b' H1] H2.
- reflexivity.
- absurd (S b' <= b').
  + apply Nat.nle_succ_diag_l.
  + etransitivity; eassumption.

最后一点是使用传递性的一种方式。 etransitivity 将目标 R x z 变为 R x ?y 和 R ?y z，以获得新的存在变量 ?y。 eassumption 然后找到与该模式匹配的假设。在这里，具体来说，您将获得目标 S b' <= ?y 和 ?y <= b，分别由 H2 和 H1 填充。您还可以明确给出中间值，这样您就可以删除 existential 前缀。

transitivity a; assumption.

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