R 中的优化：最大化和最小化多个变量

Question

我有一个数据集，其中包含 70 种食物和有关每种食物的营养价值的信息（protein/oz.、fat/oz.、cals/oz. 等），以及食物的营养价值cost/oz。我想弄清楚——给定一个以美元为单位的固定预算——最好的食物组合（以及每种食物的量）是什么来最大化蛋白质、最小化脂肪、最小化卡路里等。我的目标是这样做跨一系列价格点，并绘制每个价格点。

我在这里找到了一大堆不同的包可以帮助解决这个问题：http://cran.r-project.org/web/views/Optimization.html。但是，我是一名初学者，不确定最 helpful/where 应该从什么开始 - 希望熟悉解决此类优化问题的任何人提供一些建议。

Answer 1

这称为饮食问题，它是对线性规划的流行介绍（例如，参见 the first Google hit I found for the diet problem）。通过 lpSolve 等包的线性规划求解器可用于解决饮食问题的许多变体。

例如，考虑上面 link 中的问题版本，您有以下食物可供选择：

(food <- data.frame(Food=c("Corn", "2% Milk", "Wheat Bread"), CostPerServing=c(.18, .23, .05), VitaminA=c(107, 500, 0), Calories=c(72, 121, 65)))
#          Food CostPerServing VitaminA Calories
# 1        Corn           0.18      107       72
# 2     2% Milk           0.23      500      121
# 3 Wheat Bread           0.05        0       65

假设您想找到使总成本最小化的每种食物的份数，但前提是总卡路里必须在 2000 到 2500 之间，维生素 A 的量必须在 5000 到 50000 之间。如果您定义了变量 X1、X2 和 X2，那么您的 objective 是 .18*X1 + .23*X2 + .05*X3，即变量的线性函数。同样，您的每个约束都在变量的线性函数中；例如，卡路里数量的下限是 72*X1 + 121*X2 + 65*X3 >= 2000.

形式的约束

lpSolve 包中的 lp 函数将指示 objective 值中的系数的向量作为输入，以及有关约束的信息（约束矩阵，每个向量的方向约束，以及每个约束的右侧）。对于所述问题，这将是：

library(lpSolve)
mod <- lp("min",  # min/max
          food$CostPerServing,  # Objective
          rbind(food$VitaminA, food$VitaminA, food$Calories, food$Calories),  # Constraint matrix
          c(">=", "<=", ">=", "<="),  # Constraint directions
          c(5000, 50000, 2000, 2500))

模型求解后，可以查看objective函数和值：

mod$objval
# [1] 2.907692
mod$solution
# [1]  0.00000 10.00000 12.15385
sum(food$VitaminA * mod$solution)
# [1] 5000
sum(food$Calories * mod$solution)
# [1] 2000

满足约束条件的最低成本是 2.91 美元，您可以通过使用 0 份玉米、10 份 2% 牛奶和 12.15 份小麦面包来实现。这会产生恰好 5000 单位的维生素 A 和恰好 2000 卡路里。

R 中的优化：最大化和最小化多个变量

Optimization in R: Maximizing and Minimizing Many Variables

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maximize

ggplot2