二维莫顿码encode/decode 64bits

Question

如何 encode/decode 给定 [x, y] 作为 32 位无符号整数生成 64 位莫顿代码，反之亦然？我确实有 xy2d 和 d2xy，但仅适用于产生 32 位莫顿数的 16 位宽坐标。网上找了很多，都没找到。请帮忙。

Answer 1

不管位数如何，原始代码都是一样的。如果你不需要超快的 bit twiddling 版本，这就可以

uint32_t x;
uint32_t y;
uint64_t z = 0;

for (int i = 0; i < sizeof(x) * 8; i++)
{
  z |= (x & (uint64_t)1 << i) << i | (y & (uint64_t)1 << i) << (i + 1);
}

如果您需要更快的位操作，那么这个应该可以。请注意，x 和 y 必须是 64 位变量。

uint64_t x;
uint64_t y;
uint64_t z = 0;

x = (x | (x << 16)) & 0x0000FFFF0000FFFF;
x = (x | (x << 8)) & 0x00FF00FF00FF00FF;
x = (x | (x << 4)) & 0x0F0F0F0F0F0F0F0F;
x = (x | (x << 2)) & 0x3333333333333333;
x = (x | (x << 1)) & 0x5555555555555555;

y = (y | (y << 16)) & 0x0000FFFF0000FFFF;
y = (y | (y << 8)) & 0x00FF00FF00FF00FF;
y = (y | (y << 4)) & 0x0F0F0F0F0F0F0F0F;
y = (y | (y << 2)) & 0x3333333333333333;
y = (y | (y << 1)) & 0x5555555555555555;

z = x | (y << 1);

Answer 2

如果您可以使用特定于体系结构的指令，您将可能能够加速操作，超出使用位旋转 hacks 的可能范围：

例如，如果您为 Intel Haswell 和更高版本的 CPU 编写代码，您可以使用包含 pext 和 pdep 指令的 BMI2 指令集。这些（以及其他很棒的东西）可用于构建您的功能。

这是一个完整的示例（使用 GCC 测试）：

#include <immintrin.h>
#include <stdint.h>

// on GCC, compile with option -mbmi2, requires Haswell or better.

uint64_t xy_to_morton(uint32_t x, uint32_t y)
{
  return _pdep_u32(x, 0x55555555) | _pdep_u32(y,0xaaaaaaaa);
}

void morton_to_xy(uint64_t m, uint32_t *x, uint32_t *y)
{
  *x = _pext_u64(m, 0x5555555555555555);
  *y = _pext_u64(m, 0xaaaaaaaaaaaaaaaa);
}

如果您必须支持更早的 CPU 或 ARM 平台，则并非全部丢失。您仍然可以至少从特定于密码学的说明中获得有关 xy_to_morton 函数的帮助。

现在很多 CPU 都支持无进位乘法。在 ARM 上，这将是来自 NEON 指令集的 vmul_p8。在 X86 上，您会发现它来自 CLMUL 指令集（自 2010 年起可用）PCLMULQDQ。

这里的诀窍是，一个数字与其自身的无进位乘法将 return 一个位模式，其中包含零位交错的参数的原始位。所以它与上面显示的 _pdep_u32(x,0x55555555) 相同。例如。它变成以下字节：

 +----+----+----+----+----+----+----+----+
 | b7 | b6 | b5 | b4 | b3 | b2 | b1 | b0 |
 +----+----+----+----+----+----+----+----+

进入：

 +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
 | 0  | b7 | 0  | b6 | 0  | b5 | 0  | b4 | 0  | b3 | 0  | b2 | 0  | b1 | 0  | b0 |
 +----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+

现在您可以构建 xy_to_morton 函数（此处显示的是 CLMUL 指令集）：

#include <wmmintrin.h>
#include <stdint.h>

// on GCC, compile with option -mpclmul

uint64_t carryless_square (uint32_t x)
{
  uint64_t val[2] = {x, 0};
  __m128i *a = (__m128i * )val;
  *a = _mm_clmulepi64_si128 (*a,*a,0);
  return val[0];
}

uint64_t xy_to_morton (uint32_t x, uint32_t y)
{
  return carryless_square(x)|(carryless_square(y) <<1);
}

_mm_clmulepi64_si128 生成一个 128 位的结果，我们只使用它的低 64 位。所以你甚至可以改进上面的版本并使用一个 _mm_clmulepi64_si128 来完成这项工作。

这与您在主流平台（例如带有 NEON 和 x86 的现代 ARM）上所能获得的一样好。不幸的是，我不知道有什么技巧可以使用加密指令来加速 morton_to_xy 函数，我真的很努力地尝试了几个月。

Answer 3

void xy2d_morton(uint64_t x, uint64_t y, uint64_t *d)
{
    x = (x | (x << 16)) & 0x0000FFFF0000FFFF;
    x = (x | (x << 8)) & 0x00FF00FF00FF00FF;
    x = (x | (x << 4)) & 0x0F0F0F0F0F0F0F0F;
    x = (x | (x << 2)) & 0x3333333333333333;
    x = (x | (x << 1)) & 0x5555555555555555;

    y = (y | (y << 16)) & 0x0000FFFF0000FFFF;
    y = (y | (y << 8)) & 0x00FF00FF00FF00FF;
    y = (y | (y << 4)) & 0x0F0F0F0F0F0F0F0F;
    y = (y | (y << 2)) & 0x3333333333333333;
    y = (y | (y << 1)) & 0x5555555555555555;

    *d = x | (y << 1);
}

// morton_1 - extract even bits

uint32_t morton_1(uint64_t x)
{
    x = x & 0x5555555555555555;
    x = (x | (x >> 1))  & 0x3333333333333333;
    x = (x | (x >> 2))  & 0x0F0F0F0F0F0F0F0F;
    x = (x | (x >> 4))  & 0x00FF00FF00FF00FF;
    x = (x | (x >> 8))  & 0x0000FFFF0000FFFF;
    x = (x | (x >> 16)) & 0x00000000FFFFFFFF;
    return (uint32_t)x;
}

void d2xy_morton(uint64_t d, uint64_t &x, uint64_t &y)
{
    x = morton_1(d);
    y = morton_1(d >> 1);
}

二维莫顿码encode/decode 64bits

2D morton code encode/decode 64bits

c

64-bit

z-order-curve