将精确的波形保存在内存中

Question

假设我有一个程序计算时间 t 的正弦波值。正弦波的形式为 sin(f*t + phi)。振幅为 1.

如果我只有一个 sin 学期，一切都很好。我可以随时轻松计算出价值 t.

但是，在运行时，波形在与其他波形结合时会发生变化。 sin(f1 * t + phi1) + sin(f2 * t + phi2) + sin(f3 * t + phi3) + ...

最简单的解决方案是让 table 包含 phi 和 f 的列，遍历所有行，然后对结果求和。但是对我来说，一旦达到数千行，计算就会变慢。

有没有其他方法可以做到这一点？就像将所有正弦组合成一个 statement/formula?

Answer 1

有不同的基础（复数基础）可以有利于（即紧凑）表示不同的波形。最常见和最著名的是你提到的，通常称为傅立叶基础。例如，Daubechies 小波是一个相对较新的补充，它比傅里叶基更好地处理更多的不连续波形。但这确实是一个数学主题，如果您 post 在 Math Overflow 上，您可能会得到更好的答案。

Answer 2

如果你有一个傅里叶级数（即 f_i = i f 对于某些 f）你可以使用 Clenshaw recurrence relation 这比计算所有正弦要快得多（但它可能稍微不太准确）。

在你的情况下，你可以考虑顺序：

f_k = exp( i ( k f t + phi_k) ) , where i is the imaginary unit.

注意 Im(f_k) = sin( k f t + phi_k )，这是你的序列。

还有

f_k = exp( i ( k f t + phi_k) ) = exp( i k f t ) exp( i phi_k )

因此你有 a_k = exp(i phi_k)。您可以预先计算这些值并将它们存储在一个数组中。为简单起见，从现在起假设 a_0 = 0。

现在，exp( i (k + 1) f t) = exp(i k f t) * exp(i f t)，所以 alpha_k = exp(i f t) 和 beta_k = 0。

您现在可以应用递归公式，在 C++ 中您可以这样做：

complex<double> clenshaw_fourier(double f, double t, const vector< complex<double> > & a )
{
    const complex<double> alpha = exp(f * t * i);

    complex<double> b = 0;

    for (int k = a.size() - 1; k >0; -- k )
        b = a[k] + alpha * b;

    return a[0] + alpha * b;
}

假设 a[k] == exp( i phi_k )。

答案的实部是cos(k f t + phi_k)的总和，而虚部是sin(k f t + phi_k)的总和。

如您所见，这仅使用加法和乘法，除了仅计算一次的 exp(f * t * i)。

将精确的波形保存在内存中

Keeping exact wave form in memory

math

trigonometry