为什么 sqrt(x*x + y*y) != math.hypot(x, y) 在 Python 3.8 中？
Why is sqrt(x*x + y*y) != math.hypot(x, y) in Python 3.8?
我正在尝试 运行 在闪亮的新 Python 3.8 上进行一些测试，并注意到 math.hypot 存在问题。来自文档：
For a two dimensional point (x, y), this is equivalent to computing
the hypotenuse of a right triangle using the Pythagorean theorem,
sqrt(x*x + y*y).
但是，这些在 3.8 中并不等效：
>>> from math import hypot, sqrt
>>> x, y = 95, 168
>>> sqrt(x*x + y*y), hypot(x, y), sqrt(x*x + y*y) == hypot(x, y)
(193.0, 193.00000000000003, False)
>>> sqrt(x*x + y*y).is_integer(), hypot(x, y).is_integer()
(True, False)
在 3.7 中，两种方式产生完全相同的结果（"193.0"，它被认为是一个整数）。
函数hypot提供另一个数学表达式的近似值√(x2 + y 2), 就像浮点表达式 sqrt(x*x + y*y) 是同一个数学表达式的近似值。
推荐使用函数hypot，因为它解决了浮点计算sqrt(x*x + y*y)中存在的非常明显的缺陷，这些缺陷具有非常大或非常小的值。例如，如果 x 仅比最大有限浮点值的平方根大一点，则 sqrt(x*x + y*y) 总是产生 +inf，因为 x*x 产生 +inf.
比较：
>>> x, y = 95E200, 168E200
>>> sqrt(x*x + y*y), hypot(x, y)
(inf, 1.93e+202)
>>> z, t = 95E-200, 168E-200
>>> sqrt(z*z + t*t), hypot(z, t)
(0.0, 1.93e-198)
对于这两对（分别是非常大和非常小的）输入，hypot 做得很好，而 sqrt(x*x + y*y) 是灾难性的错误。
当原始版本 sqrt(x*x + y*y) 工作得相当好时（当值 x 和 y 既不是很大也不是很小时），它可能或多或少准确比函数 hypot 取决于 x 和 y 的值。可以预期它们都会产生与数学结果相差几个 ULP 的结果。但由于它们是通过不同方法获得的不同近似值，它们可能会有所不同（在最坏的情况下相差两倍“几个 ULP”）。
hypot(x, y) 的一个典型实现是，如果需要，首先交换 x 和 y，使 x 具有最大幅度，然后计算 x * sqrt(1 + (y/x)*(y/x)).这解决了 x*x 溢出的问题。作为副作用，这意味着 即使没有溢出 ，结果也与 sqrt(x*x + y*y).
略有不同
请注意，当您将 sqrt(x*x + y*y) 应用于小整数（就像您在测试中所做的那样）时，sqrt(x*x + y*y) 更精确是正常的：当 x 和 y 是小整数时， x*x 和 y*y 以及它们的总和可以精确地计算为浮点值。如果此和是整数的平方，则浮点函数 sqrt 只能计算此整数。简而言之，在这种情况下，尽管是浮点计算，但计算从头到尾都是准确的。相比之下，上面典型的 hypot 实现从计算 x/y（在你的测试中，95.0/168.0）开始，这个结果通常不能精确地表示为浮点值。第一步已经产生了一个近似值，这个近似值可能会导致最终结果错误（因为它在您的测试中）！
hypot 没有标准算法：只希望计算数学表达式 √(x2 + y[=68= 的良好近似值]2) 同时避免了上溢和下溢问题。 This article 显示了不同的实现，并指出我提到的流行实现牺牲了精度以避免上溢和下溢（但文章还提供了 hypot 的浮点实现，即 比 sqrt(x*x + y*y) 更准确，即使在 sqrt(x*x + y*y) 有效的地方也是如此。
我正在尝试 运行 在闪亮的新 Python 3.8 上进行一些测试，并注意到 math.hypot 存在问题。来自文档：
For a two dimensional point
(x, y), this is equivalent to computing the hypotenuse of a right triangle using the Pythagorean theorem,sqrt(x*x + y*y).
但是，这些在 3.8 中并不等效：
>>> from math import hypot, sqrt
>>> x, y = 95, 168
>>> sqrt(x*x + y*y), hypot(x, y), sqrt(x*x + y*y) == hypot(x, y)
(193.0, 193.00000000000003, False)
>>> sqrt(x*x + y*y).is_integer(), hypot(x, y).is_integer()
(True, False)
在 3.7 中，两种方式产生完全相同的结果（"193.0"，它被认为是一个整数）。
函数hypot提供另一个数学表达式的近似值√(x2 + y 2), 就像浮点表达式 sqrt(x*x + y*y) 是同一个数学表达式的近似值。
推荐使用函数hypot，因为它解决了浮点计算sqrt(x*x + y*y)中存在的非常明显的缺陷，这些缺陷具有非常大或非常小的值。例如，如果 x 仅比最大有限浮点值的平方根大一点，则 sqrt(x*x + y*y) 总是产生 +inf，因为 x*x 产生 +inf.
比较：
>>> x, y = 95E200, 168E200
>>> sqrt(x*x + y*y), hypot(x, y)
(inf, 1.93e+202)
>>> z, t = 95E-200, 168E-200
>>> sqrt(z*z + t*t), hypot(z, t)
(0.0, 1.93e-198)
对于这两对（分别是非常大和非常小的）输入，hypot 做得很好，而 sqrt(x*x + y*y) 是灾难性的错误。
当原始版本 sqrt(x*x + y*y) 工作得相当好时（当值 x 和 y 既不是很大也不是很小时），它可能或多或少准确比函数 hypot 取决于 x 和 y 的值。可以预期它们都会产生与数学结果相差几个 ULP 的结果。但由于它们是通过不同方法获得的不同近似值，它们可能会有所不同（在最坏的情况下相差两倍“几个 ULP”）。
hypot(x, y) 的一个典型实现是，如果需要，首先交换 x 和 y，使 x 具有最大幅度，然后计算 x * sqrt(1 + (y/x)*(y/x)).这解决了 x*x 溢出的问题。作为副作用，这意味着 即使没有溢出 ，结果也与 sqrt(x*x + y*y).
请注意，当您将 sqrt(x*x + y*y) 应用于小整数（就像您在测试中所做的那样）时，sqrt(x*x + y*y) 更精确是正常的：当 x 和 y 是小整数时， x*x 和 y*y 以及它们的总和可以精确地计算为浮点值。如果此和是整数的平方，则浮点函数 sqrt 只能计算此整数。简而言之，在这种情况下，尽管是浮点计算，但计算从头到尾都是准确的。相比之下，上面典型的 hypot 实现从计算 x/y（在你的测试中，95.0/168.0）开始，这个结果通常不能精确地表示为浮点值。第一步已经产生了一个近似值，这个近似值可能会导致最终结果错误（因为它在您的测试中）！
hypot 没有标准算法：只希望计算数学表达式 √(x2 + y[=68= 的良好近似值]2) 同时避免了上溢和下溢问题。 This article 显示了不同的实现，并指出我提到的流行实现牺牲了精度以避免上溢和下溢（但文章还提供了 hypot 的浮点实现，即 比 sqrt(x*x + y*y) 更准确，即使在 sqrt(x*x + y*y) 有效的地方也是如此。