香农熵的导数是什么？

Question

我有以下简单的 python 函数，它根据香农信息论计算单个输入 X 的熵：

import numpy as np

def entropy(X:'numpy array'):
  _, frequencies = np.unique(X, return_counts=True)
  probabilities  = frequencies/X.shape[0]
  return -np.sum(probabilities*np.log2(probabilities))

a = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 2.])
b = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 3.])
c = np.array([1., 1., 1., 1., 1., 1.])

print(f"entropy(a): {entropy(a)}")
print(f"entropy(b): {entropy(b)}")
print(f"entropy(c): {entropy(c)}")

输出如下：

entropy(a): 1.4591479170272446
entropy(b): 1.0
entropy(c): -0.0

不过，我还需要计算 dx:

的导数

d entropy / dx

这不是一件容易的事，因为主要公式

-np.sum(probabilities*np.log2(probabilities))

接受 probabilities，而不是 x 值，因此不清楚如何区分 dx。

有没有人知道如何做到这一点？

Answer 1

解决此问题的一种方法是使用 finite differences 以数值方式计算导数。

在这种情况下，我们可以定义一个小常数来帮助我们计算数值导数。此函数采用 one-argument 函数并计算其对输入 x:

的导数

ε = 1e-12
def derivative(f, x):
    return (f(x + ε) - f(x)) / ε

为了简化我们的工作，让我们定义一个计算熵最内层操作的函数：

def inner(x):
    return x * np.log2(x)

回想一下，和的导数是导数之和。因此，真正的导数计算发生在我们刚刚定义的 inner 函数中。

所以，熵的数值导数是：

def numerical_dentropy(X):
    _, frequencies = np.unique(X, return_counts=True)
    probabilities = frequencies / X.shape[0]
    return -np.sum([derivative(inner, p) for p in probabilities])

我们可以做得更好吗？我们当然可以！这里的关键见解是乘积规则：(f g)' = fg' + gf'，其中 f=x 和 g=np.log2(x)。（另请注意 d[log_a(x)]/dx = 1/(x ln(a))。）

因此，分析熵可以计算为：

import math
def dentropy(X):
    _, frequencies = np.unique(X, return_counts=True)
    probabilities = frequencies / X.shape[0]
    return -np.sum([(1/math.log(2, math.e) + np.log2(p)) for p in probabilities])

使用样本向量进行测试，我们有：

a = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 2.])
b = np.array([1., 1., 1., 3., 3., 3.])
c = np.array([1., 1., 1., 1., 1., 1.])

print(f"numerical d[entropy(a)]: {numerical_dentropy(a)}")
print(f"numerical d[entropy(b)]: {numerical_dentropy(b)}")
print(f"numerical d[entropy(c)]: {numerical_dentropy(c)}")

print(f"analytical d[entropy(a)]: {dentropy(a)}")
print(f"analytical d[entropy(b)]: {dentropy(b)}")
print(f"analytical d[entropy(c)]: {dentropy(c)}")

执行后，我们得到：

numerical d[entropy(a)]: 0.8417710972707937
numerical d[entropy(b)]: -0.8854028621385623
numerical d[entropy(c)]: -1.4428232973189605
analytical d[entropy(a)]: 0.8418398787754222
analytical d[entropy(b)]: -0.8853900817779268
analytical d[entropy(c)]: -1.4426950408889634

作为奖励，我们可以使用 automatic differentiation 库测试这是否正确：

import torch

a, b, c = torch.from_numpy(a), torch.from_numpy(b), torch.from_numpy(c)

def torch_entropy(X):
    _, frequencies = torch.unique(X, return_counts=True)
    frequencies = frequencies.type(torch.float32)
    probabilities = frequencies / X.shape[0]
    probabilities.requires_grad_(True)
    return -(probabilities * torch.log2(probabilities)).sum(), probabilities

for v in a, b, c:
    h, p = torch_entropy(v)
    print(f'torch entropy: {h}')
    h.backward()
    print(f'torch derivative: {p.grad.sum()}')

这给了我们：

torch entropy: 1.4591479301452637
torch derivative: 0.8418397903442383
torch entropy: 1.0
torch derivative: -0.885390043258667
torch entropy: -0.0
torch derivative: -1.4426950216293335

香农熵的导数是什么？

What is the derivative of Shannon's Entropy?

python

numpy

data-science

derivative

entropy