如何从另一个给定图像恢复图像

Question

如果我有一张灰度方形图像 (1) 并将其副本旋转 90 度。我创建了一个新图像 (2)，其中像素是原始图像和旋转图像的总和。我的问题是如果我只有图像 2 如何恢复原始图像 1？

Answer 1

简短的回答是：您无法恢复原始图像。

证明：
假设 2x2 图像：

I = [a b]
    [c d]

J = I + rot90(I) = [ a + b, b + d] = [E F
                   [ a + c, c + d]    G H]

现在让我们尝试求解线性方程组：

E = a + b + 0 + 0
F = 0 + b + 0 + d
G = a + 0 + c + 0
H = 0 + 0 + c + d

A = [a, b, 0, 0     u = [a   v = [E
     0, b, 0, d          b        F
     a, 0, c, 0          c        G   
     0, 0, c, d]         d]       H]

v = A*u

为了提取 u，矩阵 A 必须是可逆的。
但是 det(A) = 0，所以有无限可能的解决方案。

我尝试了一种迭代方法。
我在 MATLAB 中实现了它。

我试了一下，发现应用双边滤波器和适度锐化可以改善重建结果。
可能有更好的启发式方法，我想不出来。

这是 MATLAB 实现：

I = im2double(imread('cameraman.tif'))/2; %Read input sample image and convert to double
J = I + rot90(I); %Sum of I and rotated I.

%Initial guess.
I = ones(size(J))*0.5;

h_fig = figure;
ax = axes(h_fig);
h = imshow(I/2);

alpha = 0.1;
beta = 0.01;

%100000 iterations.
for i = 1:100000
    K = I + rot90(I);
    E = J - K; %E is the error matrix.
    I = I + alpha*E;

    if mod(i, 100) == 0
        if (i < 100000*0.9)
            I = imsharpen(imbilatfilt(I), 'Amount', 0.1);
        end
        h.CData = I*2;
        ax.Title.String = num2str(i);
        pause(0.01);
        beta = beta * 0.99;        
    end
end

I 和 rot90(I) 之和：

原图：

重建图像：

如何从另一个给定图像恢复图像

How to recover an image from another given image

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