我如何证明 f64::from_bits(0x3fe9000000000000 u64 ) == 0.781250 f64

Question

我用第二个问题稍微修改了原始消息：

一位 C++ 专家建议我检查一下： https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/bit_cast

更好地理解 double、memcpy 和 bit_cast (C++20) 的表示。

在这里更具体地说，我试图理解为什么我们从代码中得到这样的结果：

    constexpr std::uint64_t u64v2 = 0x3fe9000000000000ull;
    constexpr auto f64v2 = std::bit_cast<double>(u64v2);

"f64::from_bits(0x3fe9000000000000u64) == 0.781250f64"

在此之前，我花时间研究了快速平方根反比示例中提供的示例。

https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root#CITEREFGoldberg1991

我手动做了微积分，结果我终于意识到在这个特定情况下会发生什么，指数为 8 位，尾数为 23 位。

但是在我上面提到的作为bit_cast的应用的例子中，根据我的研究似乎指数是11位，尾数是52位（双精度）： https://en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format

当我手工计算时，我发现

x = (1+Mx/L)*2^(Ex-B)

和

 L=2^52 and Ex = 2*(2^9- 1) with the notations of

https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root#CITEREFGoldberg1991

而且我没有找到公布的 `0.781250 结果。也许我选择的指数和尾数不正确。我不知道，但我真的很想了解发生了什么。

提前感谢您的解释帮助找到 0.781250

第二个问题：请你检查一下我在下面提出的问题作为对评论的回复，因为即使我对第一个例子也有疑问。提前致谢

Answer 1

对于3fe9000000000000，第一位（零）是符号位，所以我们可以忽略它（它是正数）。

接下来的 11 位是 011.1111.1110（3fe），也就是 1022，但向下调整了 1023 以处理负指数。因此，它是 -1，它为您提供 2-1 或 0.5.[=40= 的乘数]

尾数位是 1001000..0（您的十六进制数的 9000..0）。前四位等于值 0.5、0.25、0.0125 和 0.0625（每次减半）。由于仅设置了第一位和第四位，因此您得到 0.5 + 0.0625 = 0.5625.

根据 IEEE754 的规定，将隐式 1 添加到该数字，您将获得 1.5625 的基值。当它乘以之前计算的乘数时，您将得到：

1.5625 x 0.5 = 0.78125

所以这就是你如何获得你的价值。

可以在 IEEE754-1985 Wikipedia page, and you can experiment with Harald Schmidt's excellent online converter 上找到更多详细信息，这是一个非常有用的工具，我构建了自己的副本来处理双精度（不幸的是，它不是在网络上，它是一个 Java 桌面应用程序）。它确实确实对我的理解帮助很大。

您可能还想特别查看 some other answers I've given on IEEE754, including, this one。

关于您在评论中提出的位模式，0x4172f58bc0000000（您声明应该是 19880124 但计算其他内容），这是你如何转换它：

4---> 1--> 7-->   2--> f--> 5--> 8--> b--> c--> (<- hex digits)
s eee eeee eeee   mmmm mmmm mmmm mmmm mmmm mmmm
0 100 0001 0111   0010 1111 0101 1000 1011 1100 (<- then all zeroes)
  v      v  vvv     |  ||||  | | |    | || ||            1/n
  1      1  421     |  ||||  | | |    | || |+-------- 4,194,304
  0      6          |  ||||  | | |    | || +--------- 2,097,152
  2                 |  ||||  | | |    | |+----------- 1,048,576
  4                 |  ||||  | | |    | +------------   524,288
                    |  ||||  | | |    +--------------   131,072
                    |  ||||  | | +-------------------     8,192
                    |  ||||  | +---------------------     4,096
                    |  ||||  +-----------------------     1,024
                    |  |||+--------------------------       256
                    |  ||+---------------------------       128
                    |  |+----------------------------        64
                    |  +-----------------------------        32
                    +--------------------------------         8

符号为正。

指数为1,024 + 16 + 4 + 2 + 1 = 1,047 - 1,023 bias = 24，所以乘数为224或16,777,216.

尾数位求和，每一位相加1/2n 因为 n 从 1 开始并向右增加：

1/4,194,304, 1/2,078,152, 1/1,048,576, 1/524,288, 1/131,072, 1/8,192, 1/4,096, 1/256, 1/128, 1/64, 1/32, 和 1/8.

当您将所有这些与隐含的 1 相加时，您会得到 1.1849477291107177734375.

那么，那个和前面计算的乘数16,777,216的乘积就是你想要的值，19,880,124‬。

Answer 2

以下是您的号码在 IEEE-745 DP 格式中的布局方式：

                  6    5          4         3         2         1         0
                  3 21098765432 1098765432109876543210987654321098765432109876543210
                  S ----E11---- ------------------------F52-------------------------
          Binary: 0 01111111110 1001000000000000000000000000000000000000000000000000
             Hex: 3FE9 0000 0000 0000
       Precision: DP
            Sign: Positive
        Exponent: -1 (Stored: 1022, Bias: 1023)
       Hex-float: +0x1.9p-1
           Value: +0.78125 (NORMAL)

我如何证明 f64::from_bits(0x3fe9000000000000 u64 ) == 0.781250 f64

How can I justify that f64::from_bits(0x3fe9000000000000 u64 ) == 0.781250 f64

floating-point

hex

double

precision

fixed