如何计算 3D 中某个点的偏航、俯仰和滚动？
How do I calculate the yaw, pitch, and roll of a point in 3D?
给定 3D 中的一个点 space，将一条线转换为指向该对象所需的三个角度（例如欧拉角）是多少？
假设我有一条 3D 线（或一个方框），我想将其航向、俯仰和坡度转换为从原点指向 3D 点，我将为这些角度使用什么值？
我无法计算出指向 (1,2,3) 等位置的角度的数学运算。
注意：我将使用 3D Math Primer for Graphics and Game Development by Fletcher Dunn.
定义的约定 "heading, pitch, bank" 而不是 "yaw, pitch, roll"
首先，请注意，在二维坐标系中，您只需要一个角度 + 大小到 "point" 到二维中的任何点。
类似地，在 3D 坐标系中，您 only need two angles + 幅度到 "point" 到 3D 中的任何点。最后一个角度（"bank" 或 "roll"）不影响点在 3D 中的位置。相反，它 "spins" 指向它的箭头。如果 object 是 360 度对称的，您根本不会看到旋转影响 object。如果 object 不对称（例如飞机），它将影响 object（例如将一个机翼向地面倾斜，另一个向天空倾斜）。
所以原来的问题实际上变成了，“我如何找到 "point" 到 3D space 中任意点的航向角、俯仰角和星等？”
您可以使用三角函数轻松计算出这一点。想象一下，我们有一个点 (1,2,3)，我们正在尝试计算航向、俯仰、震级。
下面的例子，我们就用这张图，左轴是X轴，上轴是Y轴，右轴是Z轴。点(1,2,3)，然后用蓝色球体表示。
1。求大小
首先，让我们找到最简单的值，即震级。对我们来说幸运的是，无论我们在多少维度中，都可以很容易地找到任意两点之间的大小（长度），只需使用 Pythagorean theorem。由于我们在 3D 中并且我们正在计算从原点到我们点的距离，我们的距离公式变为：
magnitude = sqrt(x*x + y*y + z*z)
插入我们的实际值：
magnitude = sqrt(1*1 + 2*2 + 3*3)
= 3.7416573868
所以我们的幅度（或长度）是~3.741。
2。找到标题
接下来，要找到航向，请注意我们只关心 XZ 平面的旋转，而根本不关心 Y-axis。如果我们要"flatten"把3Dspace变成2D，那就becomes trivial to find the heading.
我们可以画一个与 X-axis（红色三角形）成 90 度角的三角形，然后计算该角度。回忆一下三角函数 tan(angle) = opposite / adjacent，求解 angle，我们得到 angle = arctan(opposite / adjacent).
在这种情况下，"adjacent" 是已知量 (redAdjacent = x = 1)，"opposite" 也是已知量 (redOpposite = z = 3)。不过，我们不想使用 arctan 来求解方程，而是想使用 atan2，因为它会为我们处理 x 和 y 的所有不同情况。
所以我们有：
heading = atan2(redOpposite, redAdjacent)
插入我们的实际值：
heading = atan2(3, 1)
= 1.249045772398
所以我们的 航向 是 1.249 弧度，或 ~72°.
3。找到间距
最后我们需要找到音调。与我们对标题所做的类似，我们可以沿着包含以下三个点的平面将 3D space 展平为 2D：(A) 原点 (0,0,0)，(B) 我们的点 (1,2,3)，和 (C) 我们的点，因为它将投影到 XZ 平面 (1,0,3)（例如，通过为 Y-value 设置 0）。
如果我们在所有 3 个点之间画一个三角形，您会注意到它们再次形成 right-triangle（绿色三角形）。我们可以再次使用 arctan2 简单地计算角度。
我们已经在步骤 1 中计算了绿色斜边（即向量的大小）：
greenHypotenuse = sqrt(x*x + y*y + z*z)
= 3.7416573868
我们也知道绿色三角形的反面与y-value相同：
greenOpposite = y
= 2
利用勾股定理，我们可以求出邻角的长度：
greenOpposite^2 + greenAdjacent^2 = greenHypotenuse^2
y*y + greenAdjacent^2 = x*x + y*y + z*z
greenAdjacent^2 = x*x + z*z
greenAdjacent = sqrt(x*x + z*z)
注意另一种计算绿色三角形相邻长度的方法是注意redHypotenuse == greenAdjacent，我们可以使用：
找到redHypotenuse
redHypotenuse^2 = redAdjacent^2 + redOpposite^2
= x*x + z*z
redHypotenuse = sqrt(x*x + z*z)
代入实际值，我们得到：
greenAdjacent = sqrt(1*1 + 3*3)
= 3.1622776602
所以现在我们知道了绿色三角形的相邻和相反的长度，我们可以再次使用arctan2：
pitch = atan2(greenOpposite, greenAdjacent)
= atan2(2, 3.1622776602)
= 0.563942641356
所以我们的 间距 是 0.5634 弧度，或者大约 32°.
结论
如果您要从原点画一条线，长度为 3.741，航向为 1.249 弧度，间距为 0.564 弧度，它将从 (0,0,0) 延伸至 (1,2,3).
给定 3D 中的一个点 space，将一条线转换为指向该对象所需的三个角度（例如欧拉角）是多少？
假设我有一条 3D 线（或一个方框），我想将其航向、俯仰和坡度转换为从原点指向 3D 点，我将为这些角度使用什么值？
我无法计算出指向 (1,2,3) 等位置的角度的数学运算。
注意：我将使用 3D Math Primer for Graphics and Game Development by Fletcher Dunn.
定义的约定 "heading, pitch, bank" 而不是 "yaw, pitch, roll"首先，请注意，在二维坐标系中，您只需要一个角度 + 大小到 "point" 到二维中的任何点。
类似地，在 3D 坐标系中，您 only need two angles + 幅度到 "point" 到 3D 中的任何点。最后一个角度（"bank" 或 "roll"）不影响点在 3D 中的位置。相反，它 "spins" 指向它的箭头。如果 object 是 360 度对称的，您根本不会看到旋转影响 object。如果 object 不对称（例如飞机），它将影响 object（例如将一个机翼向地面倾斜，另一个向天空倾斜）。
所以原来的问题实际上变成了，“我如何找到 "point" 到 3D space 中任意点的航向角、俯仰角和星等？”
您可以使用三角函数轻松计算出这一点。想象一下，我们有一个点 (1,2,3)，我们正在尝试计算航向、俯仰、震级。
下面的例子，我们就用这张图，左轴是X轴，上轴是Y轴，右轴是Z轴。点(1,2,3)，然后用蓝色球体表示。
1。求大小
首先，让我们找到最简单的值，即震级。对我们来说幸运的是，无论我们在多少维度中，都可以很容易地找到任意两点之间的大小（长度），只需使用 Pythagorean theorem。由于我们在 3D 中并且我们正在计算从原点到我们点的距离，我们的距离公式变为：
magnitude = sqrt(x*x + y*y + z*z)
插入我们的实际值：
magnitude = sqrt(1*1 + 2*2 + 3*3)
= 3.7416573868
所以我们的幅度（或长度）是~3.741。
2。找到标题
接下来，要找到航向，请注意我们只关心 XZ 平面的旋转，而根本不关心 Y-axis。如果我们要"flatten"把3Dspace变成2D，那就becomes trivial to find the heading.
我们可以画一个与 X-axis（红色三角形）成 90 度角的三角形，然后计算该角度。回忆一下三角函数 tan(angle) = opposite / adjacent，求解 angle，我们得到 angle = arctan(opposite / adjacent).
在这种情况下，"adjacent" 是已知量 (redAdjacent = x = 1)，"opposite" 也是已知量 (redOpposite = z = 3)。不过，我们不想使用 arctan 来求解方程，而是想使用 atan2，因为它会为我们处理 x 和 y 的所有不同情况。
所以我们有：
heading = atan2(redOpposite, redAdjacent)
插入我们的实际值：
heading = atan2(3, 1)
= 1.249045772398
所以我们的 航向 是 1.249 弧度，或 ~72°.
3。找到间距
最后我们需要找到音调。与我们对标题所做的类似，我们可以沿着包含以下三个点的平面将 3D space 展平为 2D：(A) 原点 (0,0,0)，(B) 我们的点 (1,2,3)，和 (C) 我们的点，因为它将投影到 XZ 平面 (1,0,3)（例如，通过为 Y-value 设置 0）。
如果我们在所有 3 个点之间画一个三角形，您会注意到它们再次形成 right-triangle（绿色三角形）。我们可以再次使用 arctan2 简单地计算角度。
我们已经在步骤 1 中计算了绿色斜边（即向量的大小）：
greenHypotenuse = sqrt(x*x + y*y + z*z)
= 3.7416573868
我们也知道绿色三角形的反面与y-value相同：
greenOpposite = y
= 2
利用勾股定理，我们可以求出邻角的长度：
greenOpposite^2 + greenAdjacent^2 = greenHypotenuse^2
y*y + greenAdjacent^2 = x*x + y*y + z*z
greenAdjacent^2 = x*x + z*z
greenAdjacent = sqrt(x*x + z*z)
注意另一种计算绿色三角形相邻长度的方法是注意redHypotenuse == greenAdjacent，我们可以使用：
redHypotenuse
redHypotenuse^2 = redAdjacent^2 + redOpposite^2
= x*x + z*z
redHypotenuse = sqrt(x*x + z*z)
代入实际值，我们得到：
greenAdjacent = sqrt(1*1 + 3*3)
= 3.1622776602
所以现在我们知道了绿色三角形的相邻和相反的长度，我们可以再次使用arctan2：
pitch = atan2(greenOpposite, greenAdjacent)
= atan2(2, 3.1622776602)
= 0.563942641356
所以我们的 间距 是 0.5634 弧度，或者大约 32°.
结论
如果您要从原点画一条线，长度为 3.741，航向为 1.249 弧度，间距为 0.564 弧度，它将从 (0,0,0) 延伸至 (1,2,3).