三边测量算法将 3 个圆定位为尽可能靠近而不重叠
Trilateration algorithm to position 3 circles as close as possible without overlapping
我有两个圆圈，它们完全位于彼此的边界上。它们具有位置 A 和 B（均为矢量），以及半径 Ra 和 Rb。
现在我添加第三个圆，半径为 Rc。如何找到三个圆尽可能靠近且不重叠的位置向量C？
我写这篇文章是为了我正在建立的网站的插图，所以效率加分:)
编辑：
当我最初 post 编辑时，我没有足够的代表来 post 插图。
两个圆圈（B 和 C）将重叠，但与 A 相切。我想将 C 移出它与 B 共享的重叠区域，进入虚线。
编辑 2：
很抱歉，我一直不清楚，我创建了一个图表来试图解释我正在尝试做的事情。
我正在 Pixi.js 中创建插图，这是一个简单的 canvas/webGL 库。我正在使用矢量（通过 Victor.js）来定位圆圈并四处移动它们。
我随机生成了一堆圆圈，然后我将最大的圆圈 (A) 放在容器的中间。之后，我想将 A 周围的所有圆聚集在一起，解决发生的碰撞。这很重要，因为我将在用户点击或悬停时缩放单个圆圈。
对于没有任何碰撞的简单情况，矢量解决方案非常简单，我想尽可能解决两个圆以相同方式碰撞的情况。
答案是找到边长为：Ra+Rb、Ra+Rc、Rb+Rc 的三角形的点。这就是所谓的三边求解，但你会得到 2 个可能的答案。
这里使用的基本公式是余弦定律：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(gamma)
我们将长度定义为：
- La = Ra+Rb
- Lb = Rb+Rc
- Lc = Rc+Ra
我们先求出AB和AC的夹角。求解 arccos(a) = (Lb^2 + Lc^2 - La^2) / 2*Lb*Lc
（如果此时你已经有了AB的坐标系角度，可以跳到第3步）
第二步是求AB相对于X轴的坐标系角度。这是使用基本三角函数完成的。求高度h = Ay - By，角度arcsin(b) = h / La.
第三步是添加或减去（2 个答案！）角度 a 和 b，这是从点 A 开始的矢量方向，其中点 C 位于距离 Lc 处。要找到 C，请再次使用三角函数。
Cx = Ax + Lc * cos(a + b)
Cy = Ay + Lc * sin(a + b)
当圆相互接触时，圆心之间的距离称为半径之和。求解这个方程组并找到 Cx,Cy 坐标。有两种可能的解决方案。将坐标原点放在一个圆的圆心上，求解更简单。
(Cx-Ax)^2 + (Cy-Ay)^2 = (Ra+Rc)^2
(Cx-Bx)^2 + (Cy-By)^2 = (Rb+Rc)^2
如果您假设第一个圆 (A) 的圆心为 (0,0)，第二个圆 (B) 的圆心为正 [=17]，则问题会得到简化=]-轴。如果不是这种情况，您可以将 A 的中心平移到 (0,0)，然后旋转平面使其成为这种情况。 （然后最后反转这些操作恢复原来的配置。）
那么C的中心距离A的中心距离A.R + C.R，C的中心距离B.R + C.R ] 从 B 的圆心算起，其中 A.R、B.R、C.R 是圆的半径 A、B、C.也就是说，C的圆心在两个圆
的交点上
x^2 + y^2 = (A.R + C.R)^2
(x-B.x)^2 + y^2 = (B.R + C.R)^2
其中 (B.x,0) 是圆心 B。从第二个方程中减去第一个方程
-2*B.x*x + B.x^2 = B.R^2 + 2*B.R*C.R - A.R^2 - 2*A.R*C.R
也就是说C的圆心有x坐标
C.x = (A.R^2 + 2*A.R*C.R + B.x^2 - B.R^2 - 2*B.R*C.R)/(2*B.x)
现在我们有了C.x，我们可以很容易地计算出C.y:
C.y = plus or minus sqrt((A.R+C.R)^2 - C.x^2)
现在反转你在开始时应用的变换（如果有的话）（先反转旋转，然后反转平移），你就得到了 C 的最终中心。
如果你不想应用初始平移和旋转，当然你仍然可以解决这个问题，但是代数有点乱。
我有两个圆圈，它们完全位于彼此的边界上。它们具有位置 A 和 B（均为矢量），以及半径 Ra 和 Rb。
现在我添加第三个圆，半径为 Rc。如何找到三个圆尽可能靠近且不重叠的位置向量C？
我写这篇文章是为了我正在建立的网站的插图，所以效率加分:)
编辑： 当我最初 post 编辑时，我没有足够的代表来 post 插图。 两个圆圈（B 和 C）将重叠，但与 A 相切。我想将 C 移出它与 B 共享的重叠区域，进入虚线。
编辑 2： 很抱歉，我一直不清楚，我创建了一个图表来试图解释我正在尝试做的事情。
我正在 Pixi.js 中创建插图，这是一个简单的 canvas/webGL 库。我正在使用矢量（通过 Victor.js）来定位圆圈并四处移动它们。
我随机生成了一堆圆圈，然后我将最大的圆圈 (A) 放在容器的中间。之后，我想将 A 周围的所有圆聚集在一起，解决发生的碰撞。这很重要，因为我将在用户点击或悬停时缩放单个圆圈。
对于没有任何碰撞的简单情况，矢量解决方案非常简单，我想尽可能解决两个圆以相同方式碰撞的情况。
答案是找到边长为：Ra+Rb、Ra+Rc、Rb+Rc 的三角形的点。这就是所谓的三边求解，但你会得到 2 个可能的答案。
这里使用的基本公式是余弦定律：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(gamma)
我们将长度定义为：
- La = Ra+Rb
- Lb = Rb+Rc
- Lc = Rc+Ra
我们先求出AB和AC的夹角。求解 arccos(a) = (Lb^2 + Lc^2 - La^2) / 2*Lb*Lc
（如果此时你已经有了AB的坐标系角度，可以跳到第3步）
第二步是求AB相对于X轴的坐标系角度。这是使用基本三角函数完成的。求高度h = Ay - By，角度arcsin(b) = h / La.
第三步是添加或减去（2 个答案！）角度 a 和 b，这是从点 A 开始的矢量方向，其中点 C 位于距离 Lc 处。要找到 C，请再次使用三角函数。
Cx = Ax + Lc * cos(a + b)
Cy = Ay + Lc * sin(a + b)
当圆相互接触时，圆心之间的距离称为半径之和。求解这个方程组并找到 Cx,Cy 坐标。有两种可能的解决方案。将坐标原点放在一个圆的圆心上，求解更简单。
(Cx-Ax)^2 + (Cy-Ay)^2 = (Ra+Rc)^2
(Cx-Bx)^2 + (Cy-By)^2 = (Rb+Rc)^2
如果您假设第一个圆 (A) 的圆心为 (0,0)，第二个圆 (B) 的圆心为正 [=17]，则问题会得到简化=]-轴。如果不是这种情况，您可以将 A 的中心平移到 (0,0)，然后旋转平面使其成为这种情况。 （然后最后反转这些操作恢复原来的配置。）
那么C的中心距离A的中心距离A.R + C.R，C的中心距离B.R + C.R ] 从 B 的圆心算起，其中 A.R、B.R、C.R 是圆的半径 A、B、C.也就是说，C的圆心在两个圆
x^2 + y^2 = (A.R + C.R)^2
(x-B.x)^2 + y^2 = (B.R + C.R)^2
其中 (B.x,0) 是圆心 B。从第二个方程中减去第一个方程
-2*B.x*x + B.x^2 = B.R^2 + 2*B.R*C.R - A.R^2 - 2*A.R*C.R
也就是说C的圆心有x坐标
C.x = (A.R^2 + 2*A.R*C.R + B.x^2 - B.R^2 - 2*B.R*C.R)/(2*B.x)
现在我们有了C.x，我们可以很容易地计算出C.y:
C.y = plus or minus sqrt((A.R+C.R)^2 - C.x^2)
现在反转你在开始时应用的变换（如果有的话）（先反转旋转，然后反转平移），你就得到了 C 的最终中心。
如果你不想应用初始平移和旋转，当然你仍然可以解决这个问题，但是代数有点乱。