在 Coq 中，是否有与 Rabs、Rineq 合作的策略？
In Coq, are there tactics for working with Rabs, Rineq?
我是 Coq 的新手，我的主要兴趣是用它来做简单的实际分析问题。对于第一个练习，我设法 bash 通过证明 x^2+2x 趋于 0 因为 x 趋于 0。请参见下面的代码。
这看起来很笨拙，我对有关如何缩短此证明或提高其可读性的良好做法的任何一般反馈感兴趣。然而，我的主要问题是是否有任何 Coq 策略可以自动执行涉及实数的简单任务，类似于 field 和 lra 但更好。
可能的例子1：是否有任何策略可以证明来自Rbasic_fun的函数的恒等式，例如绝对值？例如，我的一半证明致力于证明 |x*x|+|2*x|=|x||x|+2|x| !
可能的示例 2： 是否有任何策略可以自动使用 Rineq 中的引理，例如 Rlt_le、Rle_trans , Rplus_le_compat_r 和 Rmult_le_compat_r?也就是说，人类证明创建者会使用引理 "chain together" 一系列不等式。
Require Import Rbase.
Require Import Rbasic_fun.
Require Import Lra.
Local Open Scope R_scope.
Definition limit (f:R -> R)
(D:R -> Prop) (l:R) (x0:R) :=
forall eps:R,
eps > 0 ->
exists delta : R,
delta > 0 /\
(forall x:R, D x /\ Rabs (x - x0) < delta -> Rabs ((f x) - l) < eps).
Lemma limitf : limit (fun (x:R) => x*x + 2 *x) (fun x => True) 0 0.
Proof.
unfold limit; intros.
split with (Rmin (eps/3) 1); split.
assert (eps / 3 > 0) by lra; clear H.
assert (1>0) by lra.
apply (Rmin_Rgt_r (eps/3) 1). apply (conj H0 H).
intros. destruct H0. clear H0. replace (x-0) with x in H1 by field.
apply (Rmin_Rgt_l (eps/3) 1) in H1. destruct H1.
assert (Rabs (x*x+2*x -0) <= Rabs(x*x)+Rabs(2*x)).
replace (x*x+2*x-0) with (x*x+2*x) by field.
apply Rabs_triang.
assert (Rabs(2*x) = 2 * Rabs(x)).
assert (Rabs(2*x) = Rabs(2) * Rabs(x)).
apply (Rabs_mult _ _).
assert (Rabs 2 = 2).
apply (Rabs_right _). lra.
replace (Rabs 2) with 2 in H3 by H4. apply H3.
replace (Rabs (2 * x)) with (2 * Rabs x) in H2 by H3. clear H3.
assert (Rabs(x*x) = Rabs(x)*Rabs(x)).
apply Rabs_mult.
replace (Rabs(x*x)) with (Rabs(x)*Rabs(x)) in H2 by H3. clear H3.
assert (Rabs x * Rabs x <= 1 * Rabs x).
apply Rmult_le_compat_r. apply Rabs_pos. apply Rlt_le. auto.
apply (Rplus_le_compat_r (2 * Rabs x) _ _) in H3.
apply (Rle_trans _ _ _ H2) in H3. clear H2.
replace (1 * Rabs x + 2 * Rabs x) with (3 * Rabs x) in H3 by field.
assert (3 * Rabs x < eps) by lra.
apply (Rle_lt_trans _ _ _ H3). auto.
Qed.
这是使用虞美人的证明，可能可以通过一些策略使其变得更好，但这非常简单。每当我想知道要使用什么引理时，我都会 Search 找到结论中包含该术语的引理...
Require Import Reals.
From Coquelicot Require Import Coquelicot.
Open Scope R.
Lemma limitf : is_lim (fun x => x*x + 2 * x) 0 0.
eapply is_lim_plus.
eapply is_lim_mult.
eapply is_lim_id.
eapply is_lim_id.
compute. apply I.
eapply is_lim_mult.
eapply is_lim_const.
eapply is_lim_id.
compute. apply I.
compute. f_equal. f_equal.
ring.
Qed.
编辑：
这是使用 Coq 标准库中的引理来证明你上面的引理。我是通过严重依赖 Search 找到它们的。也许这种方法可以减轻为您做类似证明的负担。
Require Import Reals Lra.
Local Open Scope R_scope.
Definition limit (f:R -> R)
(D:R -> Prop) (l:R) (x0:R) :=
forall eps:R,
eps > 0 ->
exists delta : R,
delta > 0 /\
(forall x:R, D x /\ Rabs (x - x0) < delta -> Rabs ((f x) - l) < eps).
Lemma limitf : limit (fun (x:R) => x*x + 2 *x) (fun x => True) 0 0.
intros eps Heps.
exists (Rmin (eps/3) 1).
split. apply Rmin_Rgt. lra.
intros x [_ H].
destruct (Rmin_Rgt_l _ _ _ H); clear H.
rewrite Rminus_0_r in *.
eapply Rle_lt_trans.
apply Rabs_triang.
do 2 erewrite Rabs_mult.
pose proof (Rabs_pos x).
remember (Rabs x) as a; clear Heqa.
rewrite (Rabs_right 2) by lra.
replace eps with (((eps/3)*1) + (2*eps/3)) by lra.
apply Rplus_lt_compat; try lra.
apply Rmult_le_0_lt_compat; lra.
Qed.
对我自己的问题的部分回答：我意识到 micromega 中的策略 nra 完全符合我在 "possible example 2"[= 中的要求23=]。所以这是我之前代码的一个版本，其中关于不等式的推理是由 nra 自动完成的。我仍然有兴趣知道是否有一种推理绝对值和 min/max 的策略，对应于我的 "possible example 1".
更新： 下面的代码根据@larsr 的回答学习了一些习语（pose proof、exists）进行了改进。
Require Import Psatz.
.....
Lemma limitf : limit (fun (x:R) => x*x + 2 *x) (fun x => True) 0 0.
Proof.
unfold limit; intros.
exists (Rmin (eps/3) 1); split.
apply Rmin_Rgt; lra.
intros; destruct H0.
replace (x-0) with x in H1 by field; replace (x*x+2*x-0) with (x*x+2*x) by field.
apply Rmin_Rgt_l in H1; destruct H1.
pose proof (Rabs_triang (x*x) (2*x)).
pose proof (Rabs_mult 2 x).
pose proof (Rabs_mult x x).
pose proof (Rabs_pos x).
epose proof (Rabs_right 2).
nra.
Qed.
我是 Coq 的新手，我的主要兴趣是用它来做简单的实际分析问题。对于第一个练习，我设法 bash 通过证明 x^2+2x 趋于 0 因为 x 趋于 0。请参见下面的代码。
这看起来很笨拙，我对有关如何缩短此证明或提高其可读性的良好做法的任何一般反馈感兴趣。然而，我的主要问题是是否有任何 Coq 策略可以自动执行涉及实数的简单任务，类似于 field 和 lra 但更好。
可能的例子1：是否有任何策略可以证明来自Rbasic_fun的函数的恒等式，例如绝对值？例如，我的一半证明致力于证明 |x*x|+|2*x|=|x||x|+2|x| !
可能的示例 2： 是否有任何策略可以自动使用 Rineq 中的引理，例如 Rlt_le、Rle_trans , Rplus_le_compat_r 和 Rmult_le_compat_r?也就是说，人类证明创建者会使用引理 "chain together" 一系列不等式。
Require Import Rbase.
Require Import Rbasic_fun.
Require Import Lra.
Local Open Scope R_scope.
Definition limit (f:R -> R)
(D:R -> Prop) (l:R) (x0:R) :=
forall eps:R,
eps > 0 ->
exists delta : R,
delta > 0 /\
(forall x:R, D x /\ Rabs (x - x0) < delta -> Rabs ((f x) - l) < eps).
Lemma limitf : limit (fun (x:R) => x*x + 2 *x) (fun x => True) 0 0.
Proof.
unfold limit; intros.
split with (Rmin (eps/3) 1); split.
assert (eps / 3 > 0) by lra; clear H.
assert (1>0) by lra.
apply (Rmin_Rgt_r (eps/3) 1). apply (conj H0 H).
intros. destruct H0. clear H0. replace (x-0) with x in H1 by field.
apply (Rmin_Rgt_l (eps/3) 1) in H1. destruct H1.
assert (Rabs (x*x+2*x -0) <= Rabs(x*x)+Rabs(2*x)).
replace (x*x+2*x-0) with (x*x+2*x) by field.
apply Rabs_triang.
assert (Rabs(2*x) = 2 * Rabs(x)).
assert (Rabs(2*x) = Rabs(2) * Rabs(x)).
apply (Rabs_mult _ _).
assert (Rabs 2 = 2).
apply (Rabs_right _). lra.
replace (Rabs 2) with 2 in H3 by H4. apply H3.
replace (Rabs (2 * x)) with (2 * Rabs x) in H2 by H3. clear H3.
assert (Rabs(x*x) = Rabs(x)*Rabs(x)).
apply Rabs_mult.
replace (Rabs(x*x)) with (Rabs(x)*Rabs(x)) in H2 by H3. clear H3.
assert (Rabs x * Rabs x <= 1 * Rabs x).
apply Rmult_le_compat_r. apply Rabs_pos. apply Rlt_le. auto.
apply (Rplus_le_compat_r (2 * Rabs x) _ _) in H3.
apply (Rle_trans _ _ _ H2) in H3. clear H2.
replace (1 * Rabs x + 2 * Rabs x) with (3 * Rabs x) in H3 by field.
assert (3 * Rabs x < eps) by lra.
apply (Rle_lt_trans _ _ _ H3). auto.
Qed.
这是使用虞美人的证明，可能可以通过一些策略使其变得更好，但这非常简单。每当我想知道要使用什么引理时，我都会 Search 找到结论中包含该术语的引理...
Require Import Reals.
From Coquelicot Require Import Coquelicot.
Open Scope R.
Lemma limitf : is_lim (fun x => x*x + 2 * x) 0 0.
eapply is_lim_plus.
eapply is_lim_mult.
eapply is_lim_id.
eapply is_lim_id.
compute. apply I.
eapply is_lim_mult.
eapply is_lim_const.
eapply is_lim_id.
compute. apply I.
compute. f_equal. f_equal.
ring.
Qed.
编辑：
这是使用 Coq 标准库中的引理来证明你上面的引理。我是通过严重依赖 Search 找到它们的。也许这种方法可以减轻为您做类似证明的负担。
Require Import Reals Lra.
Local Open Scope R_scope.
Definition limit (f:R -> R)
(D:R -> Prop) (l:R) (x0:R) :=
forall eps:R,
eps > 0 ->
exists delta : R,
delta > 0 /\
(forall x:R, D x /\ Rabs (x - x0) < delta -> Rabs ((f x) - l) < eps).
Lemma limitf : limit (fun (x:R) => x*x + 2 *x) (fun x => True) 0 0.
intros eps Heps.
exists (Rmin (eps/3) 1).
split. apply Rmin_Rgt. lra.
intros x [_ H].
destruct (Rmin_Rgt_l _ _ _ H); clear H.
rewrite Rminus_0_r in *.
eapply Rle_lt_trans.
apply Rabs_triang.
do 2 erewrite Rabs_mult.
pose proof (Rabs_pos x).
remember (Rabs x) as a; clear Heqa.
rewrite (Rabs_right 2) by lra.
replace eps with (((eps/3)*1) + (2*eps/3)) by lra.
apply Rplus_lt_compat; try lra.
apply Rmult_le_0_lt_compat; lra.
Qed.
对我自己的问题的部分回答：我意识到 micromega 中的策略 nra 完全符合我在 "possible example 2"[= 中的要求23=]。所以这是我之前代码的一个版本，其中关于不等式的推理是由 nra 自动完成的。我仍然有兴趣知道是否有一种推理绝对值和 min/max 的策略，对应于我的 "possible example 1".
更新： 下面的代码根据@larsr 的回答学习了一些习语（pose proof、exists）进行了改进。
Require Import Psatz.
.....
Lemma limitf : limit (fun (x:R) => x*x + 2 *x) (fun x => True) 0 0.
Proof.
unfold limit; intros.
exists (Rmin (eps/3) 1); split.
apply Rmin_Rgt; lra.
intros; destruct H0.
replace (x-0) with x in H1 by field; replace (x*x+2*x-0) with (x*x+2*x) by field.
apply Rmin_Rgt_l in H1; destruct H1.
pose proof (Rabs_triang (x*x) (2*x)).
pose proof (Rabs_mult 2 x).
pose proof (Rabs_mult x x).
pose proof (Rabs_pos x).
epose proof (Rabs_right 2).
nra.
Qed.