生成一个非对称 NxM 矩阵，其行和列的总和独立为 1

Question

给定一个 N 行 M 列的目标矩阵大小，是否可以选择所有行和列总和为 1 的值，条件是 矩阵是对角线上不对称？这是我在 N==M 时能够生成的目标矩阵（当 N!=M 时出现问题 - 见下文）：

[[0.08345877 0.12844672 0.90911941 0.41964704 0.57709569]
 [0.53949086 0.07965491 0.62582134 0.48922244 0.38357809]
 [0.80619328 0.27581426 0.31312973 0.26855717 0.4540732 ]
 [0.11803505 0.88201276 0.1990759  0.2818701  0.63677383]
 [0.57058968 0.75183898 0.07062126 0.6584709  0.06624682]]

我正在用 numpy 写这个。目前我已经编写了以下（强力）代码，我知道它在 n==m 时有效。但是，如果n != m, rowwise 和columwise sums 不收敛到0，and rowwise sums 和columwise sums 的比率收敛到(n/m):

n,m = (5,4)
mat = np.random.random((n,m))
for i in range(100):
    s0 = mat.sum(0)
    s1 = mat.sum(1)[:,newaxis]
    mat = (mat/s0)
    mat = (mat/s1)
    if i%10 == 0:
        print(s0[0]/s1[0,0])

这种情况下的最终输出是 1.25（即 n/m，或 5/4）。我开始认为这在数学上可能是不可能的。有人可以证明我错了吗？

Answer 1

我怀疑你是对的，如果N != M 就无法解决问题。

以2x3矩阵为例：

[[a b c]
 [d e f]]

假设所有行和所有列的总和为 1 并显示矛盾。行总和为 1，因此：

a+b+c = 1
d+e+f = 1

这给出：

(a+b+c)+(d+e+f) = 1 + 1 = 2

现在查看列。每列的总和也为 1，因此我们有：

a+d = 1
b+e = 1
c+f = 1

组合三列等式得出：

(a+d)+(b+e)+(c+f) = 1 + 1 + 1 = 3

由于矩阵6个元素之和不能同时为2和3，2 != 3，原假设自相矛盾，故推翻。更一般地，问题无法解决 N != M with N rows M columns.

方阵N=M时矛盾消失

生成一个非对称 NxM 矩阵，其行和列的总和独立为 1

Generate an Asymmetric NxM matrix whose Rows and Columns Independently Sum to 1

python

random

matrix

linear-algebra