在sympy中用可变指数扩展多项式

Question

我对 sympy 不是很有经验，如果这是一个简单的问题，我很抱歉。

如何使用 sympy 展开二项式表达式？例如说我想让 sympy 计算多项式 $(x^2 + x + 1)^n$ 中 $x^2$ 的系数（我希望答案是 $n + \binom{n} {2}$）。

我尝试了以下代码：

x = symbols('x')
n = symbols('n', integer=True, nonnegative = True)
expand((x**2+x+1)**n)

但结果只是 $(x^2+x+1)^n$ 而我想要二项式展开，即 .

提前致谢。

Answer 1

如果指数不是符号的，那么下面给出了具有整数系数的任意多项式的幂的系数，例如，

>>> eq
x**3 + 3*x + 2
>>> (Poly(eq)**42).coeff_monomial(x**57)
2294988464559317378977138572972

但是如果多项式的指数是符号的，目前还没有表示系数的例程。如果在系数中也可以看到模式，rsolve 也可以用来表示封闭形式：

>>> print([((x**2+x+1)**i).expand().coeff(x**2) for i in range(8)])
[0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28]
>>> from sympy.abc import n
>>> f=Function('f') # f(n) represents the coefficient of x**2 for a given n

给定 n 的 x^2 的系数比上一个值多 n：

>>> rsolve(f(n)-f(n-1)-n, f(n),{f(0):0,f(1):1})
n*(n + 1)/2

这个最终表达式是x^2对任意n的系数。

问题 17889 给出了一个例程，该例程将计算单变量多项式（每个项具有任意系数）中项的系数，提高到 n 次方：

>>> eq = 2 + x + x**2
>>> unicoeff(eq, 4).simplify()
Piecewise(
    (0, n < 2),
    (2**(n - 3)*n*(n - 1), n < 3),
    (2**(n - 4)*n**2*(n - 1), n < 4),
    (2**n*n*(n - 1)*(n**2 + 19*n + 6)/384, True))
>>> _.subs(n, 5)
210
>>> (eq**5).expand().coeff(x**4)
210

对于你的表达式（常量为 1）：

>>> unicoeff(1+x+x**2,2).simplify()
Piecewise((0, n < 1), (n, n < 2), (n*(n + 1)/2, True))

在sympy中用可变指数扩展多项式

Expanding polynomial with variable exponent in sympy

python-3.x

sympy

polynomials