处理 Python 中非常非常小的数字

Question

我需要乘以 1e6 个数量级为 0.01 的数字。预期结果的顺序是 1e-100000000。显然，典型的浮点运算无法处理这个问题。

在网络上进行一些研究后，我发现 decimal library 似乎可以解决此问题。然而，它似乎有一些限制，无法满足我的需要：

>>> Decimal('.01')**Decimal('1e5') # Seems to handle this
Decimal('1E-200000')
>>> Decimal('.01')**Decimal('1e5')*Decimal('1E200000') # Yeah! It works!
Decimal('1')
>>> Decimal('.01')**Decimal('1e6') # This result is strange...
Decimal('0E-1000026')
>>> Decimal('.01')**Decimal('1e6')*Decimal('0E1000026') # Wrong result
Decimal('0')

有人知道解决这个问题的方法吗？

Answer 1

你的结果不正确，因为小数也有精度（小数是定点数学），所以你在这里也遇到下溢问题：

Decimal('.01')**Decimal('1e6')

Decimal('0E-1000026')

但是：

getcontext().prec = 1000000000   # sets precision to 1000000000
Decimal('.01')**Decimal('1e6')

Decimal('1E-2000000')

您可以通过手动设置精度来解决您的问题，如上例所示或手动计算幂，例如：

Decimal('.01')**Decimal('1e6')

可以转换为

Decimal('1e-2') ** Decimal('1e6')

以后到

1 ** ((-2) ** 1e6) = 1 ** (-2000000)

Decimal module documentation

Answer 2

为什么不用对数？

您想计算：

RESULT  = x1 * x2 * x3 * x4 ... * xn

表示为：

ln(RESULT) = ln(x1) + ln(x2) + ln(x3) + ln(x4) ... + ln(xn)

如果存储自然对数，非常小的正数可以很好地存储到浮点数中：

ln(0.000001) ≈ -13.81551

不是存储数字本身，而是存储值的对数。

假设您将 ln(0.0000011) 添加到自身 10^6 次。你得到大约 -13815510.558。 float 比 0.000001^(10^6)

丢失的精度更低

无论你最后得到什么数字，你都知道你的结果就是数字 e 的那个次方。例如，RESULT = e^-13815510.558

您可以使用以下代码：

import math

class TinyNum:
    def __init__(self, other=None, *, pow=None):
        """
        x = TinyNum(0.0000912922)
        x = TinyNum("0.12345")     # strings are okay too
        x = TinyNum(pow = -110)    # e^-110
        y = TinyNum(x)             # copy constructor
        """
        if other:
            if isinstance(other, type(self)):
                self._power = other._power
            else:
                self._power = math.log(float(str(other)))
        else: # other == None
            self._power = float(str(pow))

    def __str__(self):
        return "e^"+str(self._power)

    def __mul__(lhs, rhs):
        rhs = type(lhs)(rhs)
        return type(lhs)(pow=lhs._power + rhs._power)

    def __rmul__(rhs, lhs):
        lhs = type(rhs)(lhs)
        return type(rhs)(pow=lhs._power + rhs._power)

    def __imul__(total, margin):
        total._power = total._power + type(total)(margin)._power


lyst = [
    0.00841369,
    0.004766949,
    0.003188046,
    0.002140916,
    0.004780032
]

sneaky_lyst = map(TinyNum, lyst)

print(math.prod(sneaky_lyst))

打印到控制台的消息是：

e^-27.36212057035477

处理 Python 中非常非常小的数字

Handling very very small numbers in Python

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math

decimal

underflow