具有 OR 逻辑的 LP / MILP 公式

Question

我正在使用 ILOG CPLEX 解决 LP/MILP 问题。

int n = ...;
range time =1..n;

dvar float+ c[time] in 0..0.3;
dvar float+ d[time] in 0..0.3;
dvar float+ x[time];

int beta[time]=...;
float pc[time]=...;
float pd[time]=...;

//Expressions

dexpr float funtion = sum(t in time) (d[t]*pd[t]-c[t]*pc[t]); 

//Model

maximize function;

subject to {

    x[1] == 0.5;
    c[1] == 0;
    d[1] == 0;

    forall(t in time)
        const1:
            x[t] <= 1;          

    forall(t in time: t!=1)
        const2:
            (x[t] == x[t-1] + c[t] - d[t]);         

    forall(t in time: t!=1)
        const3:         
            ( d[t] <= 0) || (c[t] <= 0);

如您所见，我已强制 c[t] 和 d[t] 永远不会同时大于 0 "const3"。

我的问题是，这个约束如何用 LP/MILP 数学公式表示？

添加这个新变量是否足够？ :

y[t]≤c[t]+d[t]

y[t]≥c[t]

y[t]≥d[t]

0≤y[t]≤M（M为c或d的最大值）

Answer 1

据我所知，您建议的约束将允许此设置：

c[t] = 0.1
d[t] = 0.1
y[t] = 0.2

其中c和d同时不为0。

我可以看到这些选项来制定您的条件而没有逻辑限制：

1) 使用仅包含 c[t] 和 d[t] 的 SOS 约束。根据 SOS 的定义，在任何可行的解决方案中，只有两者之一可以是非零的。

2) 使用 布尔值 变量 y[t] 并添加约束

c[t] <= M * y[t]
d[t] <= M * (1 - y[t])

3) 同样，使用布尔值 y[t]，然后使用指标约束

(y[t] == 0) => (c[t] == 0);
(y[t] == 1) => (d[t] == 0);

4) 你可以只声明 c[t] * d[t] == 0 但这会使模型非线性。

在任何情况下，求解器都可能能够将您的原始公式减少到 2 或 3。因此，重新制定约束可能不会使事情变得更快，只会变得更模糊。

具有 OR 逻辑的 LP / MILP 公式

LP / MILP formulation with OR logic

optimization

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linear-programming

cplex

mixed-integer-programming