如何通过与目标相矛盾来证明？

Question

Require Import Arith.

Goal forall a b c: nat, nat_eq a b -> nat_eq b c -> nat_eq a c.
Proof.
  intros a b c H0 H1.

1 subgoal
a, b, c : nat
H0 : eq_nat a b
H1 : eq_nat b c
______________________________________(1/1)
eq_nat a c

这只是我编造的一个例子，我的问题是，如果我想通过与目标相矛盾来证明它，假设 (~ eq_nat a c) 为真，然后通过在中找到矛盾来证明上下文，我应该如何实现？无法找到一种方法来做到这一点，关于我应该使用什么策略的任何提示？

Answer 1

这需要消除双重否定（不是非目标 -> 目标）才能起作用。如果您将其作为公理（例如 Axiom dne: forall P: Prop, ~~P -> P），则可以使用策略 apply dne。

准确地说，

Require Import Arith.

Axiom dne: forall P: Prop, ~~P -> P.

Goal forall a b c: nat, nat_eq a b -> nat_eq b c -> nat_eq a c.
Proof.
  intros a b c H0 H1.
  apply dne; intro H2.
  (* now the context is
     1 subgoal
     a, b, c : nat
     H0 : eq_nat a b
     H1 : eq_nat b c
     H2 : ~ eq_nat a c
     ______________________________________(1/1)
     False
  *)
Abort.

如何通过与目标相矛盾来证明？

How to prove by contradicting the goal?

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