integral2 returns 0 当它不应该

Question

我遇到了以下问题。我正在尝试在整个支持范围内集成双变量正态分布的 pdf 函数。但是，Matlab returns 0 for d，不应该这样。我的方法有什么问题？

代码如下：

mu1=100;
mu2=500;
sigma1=1;
sigma2=2;
rho=0.5;
var1=sigma1^2;
var2=sigma2^2;

pdf = @(x,y) (1/(2*pi*sigma1*sigma2*sqrt(1-rho^2))).*exp((-1/(2*(1-rho^2)))*(((x-mu1).^2/var1)+((y-mu2).^2/var2)-((2*rho*(x-mu1).*(y-mu2))/(sigma1*sigma2))));

d = integral2(pdf,-Inf,Inf,-Inf,Inf)

Answer 1

正如@Andras Deak 评论的那样，"exponentials cut off very fast away from the peak"。其实你可以想象一下：

mu1=100;
mu2=500;
sigma1=1;
sigma2=2;
rho=0.5;
var1=sigma1^2;
var2=sigma2^2;

pdf = @(x,y) (1/(2*pi*sigma1*sigma2*sqrt(1-rho^2))).*exp((-1/(2*(1-rho^2)))*(((x-mu1).^2/var1)+((y-mu2).^2/var2)-((2*rho*(x-mu1).*(y-mu2))/(sigma1*sigma2))));
figure
fsurf(pdf,[90 110 490 510])
figure
fsurf(pdf,[0 200 400 600])

在第一个图中，限制接近您提供的均值。您可以看到二元法线的形状：

如果你扩展限制，你会看到不连续的样子：

内置积分函数尝试计算积分，但如果您的限制是 -inf 和 inf，您的函数几乎处处为零，并且不连续性接近均值。

To treat singularities，你应该按照 MATLAB 的建议打破你的域。由于函数几乎处处为零，您只能围绕均值进行积分：

d = integral2(pdf,90,110,490,510)

> d =
> 
>     1.0000

您也可以将其写成变量的函数。 empirical rule 表明 99.7% 的数据与平均值相差 3 个标准差，因此：

d = integral2(pdf,mu1-3*sigma1,mu1+3*sigma1,mu2-3*sigma2,mu2+3*sigma2)

> d =
> 
>     0.9948

这会给你一个很好的结果。我们可以详细说明。在经验规则的维基百科页面中，表达式

erf(x/sqrt(2))

会给"Expected fraction of population inside range mu+-x*sigma"。对于在 MATLAB 中作为标准显示的短精度，如果您选择 x=5，您将得到：

x = 5;
erf(x/sqrt(2))

> ans =
> 
>     1.0000

几乎所有数据都包含在 5 个标准偏差内。因此，您可以在二重积分中忽略此范围之外的域以避免（几乎）奇点。

d = integral2(pdf,mu1-x*sigma1,mu1+x*sigma1,mu2-x*sigma2,mu2+x*sigma2)

> d =
> 
>     1.0000

integral2 returns 0 当它不应该

integral2 returns 0 when it shouldn't

matlab

integral