numpy 特征分解产生意想不到的输出？

Question

根据 numpy.linalg.eig 的文档和我对特征分解的理解，以下代码：

a = [[1,1],[-1,-1]]
w, v = np.linalg.eig(a)
c = a@v
print(c)
print(w)

应该产生：

[[√2,0],[-√2,0]]
[4,0]

但它却产生了：

[[ 1.11022302e-16+1.11022302e-16j  1.11022302e-16-1.11022302e-16j]
 [-1.11022302e-16-1.11022302e-16j -1.11022302e-16+1.11022302e-16j]]
[-3.25176795e-17+1.57009246e-16j -3.25176795e-17-1.57009246e-16j]

所以我哪里错了？

Answer 1

有矩阵a

a = np.array([[ 1,  1],\
              [-1, -1]])

你的两个特征值理论上应该是w_th=[0,0]，所以：

w
>>> array([-3.25176795e-17+1.57009246e-16j, -3.25176795e-17-1.57009246e-16j])

只是复数形式的一些零 +/- 舍入误差。关于特征向量，这些是 v_th=[[1,1],[-1,-1]] 但 numpy.linalg.eig 将它们归一化为单一长度（例如第一个 np.linalg.norm(v[:,0],2) = 0.99...），这意味着它只是给了你 [[1/sqrt(2),1/sqrt(2)],[-1/sqrt(2),-1/sqrt(2)]] 的近似值：

v
>>> array([[ 0.70710678+0.00000000e+00j,  0.70710678-0.00000000e+00j],
            [-0.70710678+1.11022302e-16j, -0.70710678-1.11022302e-16j]])

了解以上所有内容，您现在可以通过比较等式两边来进行数值验证 :

np.allclose(a@v,w*v)
>>> True

或理论值，即 "without"舍入误差：

a@np.asarray(v_th)
>>> array([[0, 0],
           [0, 0]])

np.asarray(w_th)*np.asarray(v_th)
>>> array([[0, 0],
           [0, 0]])

所以这里的 numpy 输出没有什么意外，似乎只是你的分析特征值 [4,0] 是假的。

numpy 特征分解产生意想不到的输出？

numpy eigen decomposition produce unexpected output?

numpy

algebra

eigenvector