详细了解大量 3x3 矩阵的求逆算法

Question

我按照这个原文 post : 。建议作为答案的代码是：

$ cat t14.py
import numpy as np
import pycuda.driver as cuda
from pycuda.compiler import SourceModule
import pycuda.autoinit
# kernel
kernel = SourceModule("""

__device__ unsigned getoff(unsigned &off){
  unsigned ret = off & 0x0F;
  off >>= 4;
  return ret;
}   

// in-place is acceptable i.e. out == in) 
// T = float or double only
const int block_size = 288;
typedef double T; // *** can set to float or double
__global__ void inv3x3(const T * __restrict__ in, T * __restrict__ out, const size_t n, const unsigned * __restrict__ pat){

  __shared__ T si[block_size];
  size_t idx = threadIdx.x+blockDim.x*blockIdx.x;
  T det = 1;
  if (idx < n*9)
    det = in[idx];
  unsigned sibase = (threadIdx.x / 9)*9;
  unsigned lane = threadIdx.x - sibase; // cheaper modulo
  si[threadIdx.x] = det;
  __syncthreads();
  unsigned off = pat[lane];
  T a  = si[sibase + getoff(off)];
  a   *= si[sibase + getoff(off)];
  T b  = si[sibase + getoff(off)];
  b   *= si[sibase + getoff(off)];
  a -= b;
  __syncthreads();
  if (lane == 0) si[sibase+3] = a;
  if (lane == 3) si[sibase+4] = a;
  if (lane == 6) si[sibase+5] = a;
  __syncthreads();
  det =  si[sibase]*si[sibase+3]+si[sibase+1]*si[sibase+4]+si[sibase+2]*si[sibase+5];
  if (idx < n*9)
    out[idx] = a / det;
}   

""")
# host code
def gpuinv3x3(inp, n):
    # internal constants not to be modified
    hpat = (0x07584, 0x08172, 0x04251, 0x08365, 0x06280, 0x05032, 0x06473, 0x07061, 0x03140)
    # Convert parameters into numpy array
    # *** change next line between float32 and float64 to match float or double
    inpd = np.array(inp, dtype=np.float64)
    hpatd = np.array(hpat, dtype=np.uint32)
    # *** change next line between float32 and float64 to match float or double
    output = np.empty((n*9), dtype= np.float64)
    # Get kernel function
    matinv3x3 = kernel.get_function("inv3x3")
    # Define block, grid and compute
    blockDim = (288,1,1) # do not change
    gridDim = ((n/32)+1,1,1)
    # Kernel function
    matinv3x3 (
        cuda.In(inpd), cuda.Out(output), np.uint64(n), cuda.In(hpatd),
        block=blockDim, grid=gridDim)
    return output
inp = (1.0, 1.0, 1.0, 0.0, 0.0, 3.0, 1.0, 2.0, 2.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0)
n = 2
result = gpuinv3x3(inp, n)
print(result.reshape(2,3,3))

在包含 18 个值（因此 2 个矩阵 3x3）的初始一维数组上，结果给出了正确的倒矩阵，即：

[[[ 2.         -0.         -1.        ]
  [-1.         -0.33333333  1.        ]
  [-0.          0.33333333 -0.        ]]

 [[ 1.          0.          0.        ]
  [ 0.          1.          0.        ]
  [ 0.          0.          1.        ]]]

主要问题：我想详细了解该算法的工作原理，尤其是当我在大量 3x3矩阵。

我理解这一行：size_t idx = threadIdx.x+blockDim.x*blockIdx.x; 它给出了由当前工作组块的本地 threadIdx 和 blockIdx 标识的当前工作项的全局索引。
我知道 __shared__ T si[block_size]; 代表一个共享数组，即关联到工作组块：这就是我们所说的 Local Memory.

另一方面，我不明白内核代码的以下部分：

 __shared__ T si[block_size];

 size_t idx = threadIdx.x+blockDim.x*blockIdx.x;
 T det = 1;
 if (idx < n*9)
   det = in[idx];
 unsigned sibase = (threadIdx.x / 9)*9;
 unsigned lane = threadIdx.x - sibase; // cheaper modulo
 si[threadIdx.x] = det;
 __syncthreads();
 unsigned off = pat[lane];
 c
 __syncthreads();
 if (lane == 0) si[sibase+3] = a;
 if (lane == 3) si[sibase+4] = a;
 if (lane == 6) si[sibase+5] = a;
 __syncthreads();

的确，unsigned sibase = (threadIdx.x / 9)*9;

定义的sibase索引有什么作用

还有，参数 lane 定义的效用是什么：unsigned lane = threadIdx.x - sibase; // cheaper modulo

最后，移位应用：

      T a  = si[sibase + getoff(off)];
      a   *= si[sibase + getoff(off)];
      T b  = si[sibase + getoff(off)];
      b   *= si[sibase + getoff(off)];
      a -= b;

但是功能没看清楚

关于这部分我也有同样的问题:

 if (lane == 0) si[sibase+3] = a;
 if (lane == 3) si[sibase+4] = a;
 if (lane == 6) si[sibase+5] = a;

行列式的计算方式很奇怪，我无法理解，即：

 det =  si[sibase]*si[sibase+3]+si[sibase+1]*si[sibase+4]+si[sibase+2]*si[sibase+5];

我不是 OpenCL 的初学者，但我还不够专业，无法完全理解这个内核代码。

Answer 1

预赛

首先，了解 3x3 矩阵求逆的算法很重要，请参阅 here（及下文）。

用于内核设计的一般方法是为每个线程分配一个矩阵结果元素。因此每个矩阵需要 9 个线程。最终每个线程将负责计算每个矩阵的 9 个数值结果之一。为了计算两个矩阵，我们需要18个线程，3个矩阵需要27个线程。

一项辅助任务是决定 threadblock/grid 尺码。这遵循典型的方法（总体问题大小决定了所需的线程总数），但我们将具体选择线程块大小 288，因为这是 9（每个矩阵的线程数）和 32（每个矩阵的线程数）的方便倍数CUDA 中每个 warp 的线程数），这为我们提供了一定的效率衡量标准（没有浪费的线程，数据存储中没有间隙）。

由于我们的线程策略是每个矩阵元素一个线程，我们必须使用 9 个线程共同解决矩阵求逆算法。主要任务是计算余因子的转置矩阵，然后计算行列式，然后做最后的算术（除以行列式）计算每个结果元素。

计算余因子

第一个任务是计算 A 的余因子转置矩阵，称为 M:

        |a b c|
let A = |d e f|
        |g h i|

    
        |ei-fh ch-bi bf-ce|
    M = |fg-di ai-cg cd-af|
        |dh-eg bg-ah ae-bd|

这项任务有 9 个线程，矩阵 M 的九个元素要计算，因此我们将为 M 的每个元素分配一个线程。 M 的每个元素都依赖于多个输入值（a、b、c 等）所以我们首先加载每个输入值（有 9 个，每个线程), 进入共享内存:

  // allocate enough shared memory for one element per thread in the block:
  __shared__ T si[block_size];
  // compute a globally unique thread index, so each thread has a unique number 0,1,2,etc.
  size_t idx = threadIdx.x+blockDim.x*blockIdx.x;
  // establish a temporary variable that will use and reuse during thread processing
  T det = 1;
  // do a thread check to make sure that our next load will be in-bounds for the input array in
  if (idx < n*9)
  // load one element per thread, 9 threads per matrix will load an entire matrix
    det = in[idx];
  // for a given matrix (9 threads) compute the base offset into shared memory, where this matrix data (9 elements) will be stored.  All 9 threads have the same base offset
  unsigned sibase = (threadIdx.x / 9)*9;
  // for each group of 9 threads handling a matrix, compute for each thread in that group, a group offset or "lane" from 0..8, so each thread in the group has a unique identifier/assignment in the group
  unsigned lane = threadIdx.x - sibase; // cheaper modulo
  // let each thread place its matrix element a,b,c, etc. into shared memory
  si[threadIdx.x] = det;
  // shared memory is now loaded, make sure all threads have loaded before any calculations begin
  __syncthreads();

现在每个 A 矩阵元素（a、b、c、...）都已加载到共享内存中，我们可以开始计算M 中的辅因子。让我们关注一个特定线程 (0) 及其辅助因子 (ei-fh)。计算此余因子所需的所有矩阵元素（e、i、f 和 h）现在都在共享内存中。我们需要一种方法来按顺序加载它们，并执行所需的乘法和减法。

此时我们观察到两件事：

每个 M 元素（辅助因子）都有一组不同的 4 个所需元素 A
每个 M 元素（辅助因子）遵循相同的通用算法，给定 A 的四个任意元素，让我们将它们统称为 X、Y， Z 和 W。算术是XY-ZW。我取第一个元素，乘以第二个，然后取第三个和第四个元素，将它们相乘，然后减去两个乘积。

由于所有 9 个辅助因子的一般操作顺序（上面的 2）相同，我们只需要一种方法来安排 4 个所需矩阵元素的加载。这种方法被编码到硬编码到示例中的负载模式中：

 hpat = (0x07584, 0x08172, 0x04251, 0x08365, 0x06280, 0x05032, 0x06473, 0x07061, 0x03140)

有9种负载模式，每种占用一个十六进制数，每个线程一个负载模式，即每个M矩阵元素（余因子）一个负载模式。在特定的 A 矩阵中，矩阵元素 a、b、c 等（已经）加载到 group[=132 的共享内存中=] 0、1、2 等的偏移量。给定线程的加载模式将允许我们生成组偏移量序列，需要从它们在共享内存中的位置检索 A 的矩阵元素，以按顺序用于计算分配给该线程的辅助因子。考虑线程 0 及其辅助因子 ei-fh，负载模式 0x7584 如何将所需模式编码为 select e，然后 i，然后 [=34] =]，然后 h?

为此，我们有一个辅助函数 getoff，它采用加载模式，并连续（每次调用）剥离索引。我第一次使用参数 0x7584 调用 getoff 时，它“剥离”了索引 4，returns，并将 0x7584 负载模式替换为 0x758 用于下一次使用。 4对应e。下次我用 0x758 调用 getoff 时，它会“剥离”索引 8，returns，并将 0x758 替换为 0x75。 8对应i。下一次产生索引5，对应f，上一次产生索引7，对应h.

有了那个描述，然后我们将遍历代码，假装我们是线程 0，并描述计算 ei-fh:
的过程
// get the load pattern for my matrix "lane" unsigned off = pat[lane]; //load my temporary variable `a` with the first item indexed in the load pattern: T a = si[sibase + getoff(off)]; // multiply my temporary variable `a` with the second item indexed in the load pattern a *= si[sibase + getoff(off)]; //load my temporary variable `b` with the third item indexed in the load pattern T b = si[sibase + getoff(off)]; // multiply my temporary variable `b` with the fourth item indexed in the load pattern b *= si[sibase + getoff(off)]; // compute the cofactor by subtracting the 2 products a -= b;

sibase，如第一个注释代码部分中所示，是共享内存中存储 A 矩阵元素的基本偏移量。 getoff 函数然后将此基地址添加到 select 相关输入元素。

计算行列式

行列式的数值由下式给出：

det(A) = det = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)

如果我们分解它，我们会看到所有的项实际上都已经计算好了：

a,b,c: these are input matrix elements, in shared locations (group offsets) 0, 1, 2 ei-fh: cofactor computed by thread 0 di-fg: cofactor computed by thread 3 (with sign reversed) dh-eg: cofactor computed by thread 6

现在，每个线程都需要行列式的值，因为每个线程在计算其最终（结果）元素时都会使用它。因此，我们将让矩阵中的每个线程冗余地计算相同的值（这比在一个线程中计算它，然后将该值广播给其他线程更有效）。为了促进这一点，我们需要将 3 个已计算的辅助因子提供给所有 9 个线程。所以我们将 select 共享内存中的 3 个（不再需要）位置来“发布”这些值。我们仍然需要位置 0、1、2 中的值，因为我们需要输入矩阵元素 a、b 和 c 来计算行列式。但是对于我们剩余的工作，我们不再需要位置 3、4 或 5 中的输入元素，因此我们将重用这些元素：

// we are about to change shared values, so wait until all previous usage is complete __syncthreads(); // load cofactor computed by thread 0 into group offset 3 in shared if (lane == 0) si[sibase+3] = a; // load cofactor computed by thread 3 into group offset 4 in shared if (lane == 3) si[sibase+4] = a; // load cofactor computed by thread 6 into group offset 5 in shared if (lane == 6) si[sibase+5] = a; // make sure shared memory loads are complete __syncthreads(); // let every thread compute the determinant (same for all threads) // a * (ei-fh) + b * -(fg-di) + c * (dh-eg) det = si[sibase]*si[sibase+3]+si[sibase+1]*si[sibase+4]+si[sibase+2]*si[sibase+5];

最终结果的计算

这仅涉及（对于每个线程）将先前为该线程计算的余因子除以刚刚计算的行列式，并存储该结果：

// another thread check: make sure this thread is actually doing useful work if (idx < n*9) // take previously computed cofactor, divide by determinant, store result out[idx] = a / det;

详细了解大量 3x3 矩阵的求逆算法

Understanding in details the algorithm for inversion of a high number of 3x3 matrixes

python

cuda

shared-memory

pycuda