四倍精度的 Epsilon (gcc)

Question

根据维基百科，不同精度数据类型的布局是

single precision：指数（e）：8位，小数（f）：23位
double precision: e: 11 位, f: 52 位
quadruple precision: e: 15 位, f: 112 位.

我写了一个小程序来输出float、double和long double[=38的数值限制=] 在 C++ 中（用 g++ 编译）

#include<iostream> #include<limits> #include<string> template<typename T> void print(std::string name) { std::cout << name << " (" << sizeof(T) * 8 << "): " << std::numeric_limits<T>::epsilon() << "\t" << std::numeric_limits<T>::min() << "\t" << std::numeric_limits<T>::max() << std::endl; } int main() { std::cout.precision(5); print<float>("float"); print<double>("double"); print<long double>("long double"); return 0; }

哪个输出（我在多台机器上运行结果相同）

float (32): 1.1921e-07 1.1755e-38 3.4028e+38 double (64): 2.2204e-16 2.2251e-308 1.7977e+308 long double (128): 1.0842e-19 3.3621e-4932 1.1897e+4932

上限与 2^(2^(e-1)) 一致，对于 float 和 double，epsilon 与2^(-f)。对于 long double，但是根据该逻辑，epsilon 应该大致为 1.9259e-34。

有谁知道，为什么不知道？

Answer 1

long double 不保证实现为 IEEE-745 四倍精度。 C++ reference reads:

long double - extended precision floating point type. Does not necessarily map to types mandated by IEEE-754. Usually 80-bit x87 floating point type on x86 and x86-64 architectures.

如果long double实现为80-bits x86 extended precision，则epsilon为2<sup>-63</sup> = 1.0842e-19.这是您作为输出获得的值。

一些编译器 support __float128 type that has quadruple precision. In GCC long double becomes an alias for __float128 if -mlong-double-128 command line option is used, and on x86_64 targets __float128 is guaranteed 是 IEEE 四精度类型（在软件中实现）。

std::numeric_limits 不专门用于 __float128。要获得 epsilon 的值，可以使用以下技巧（假设是小端机器）：

__float128 f1 = 1, f2 = 1;      // 1.q       -> ...00000000
std::uint8_t u = 1;
std::memcpy(&f2, &u, 1);        // 1.q + eps -> ...00000001
std::cout << double(f2 - f1);   // Output: 1.9259e-34

有了 GCC，你可以使用 libquadmath:

#include <quadmath.h>
...

std::cout << (double)FLT128_EPSILON;

获得相同的输出。

四倍精度的 Epsilon (gcc)

Epsilon in quadruple precision (gcc)

c++

epsilon

quadruple-precision