如何使用先前的引理正确简化 coq 目标？

Question

为什么我的证明的最后一行没有去掉一个后继者而不是添加一个。注意：我在课堂之外做这些练习，不要容忍人们用它来欺骗硬件，我只是不知道还能在哪里问。来自皮尔斯的战术章节。

Theorem plus_n_n_injective : forall n m,
     n + n = m + m ->
     n = m.
Proof.
  intros n. induction n as [| n'].
  intros.
  simpl in H.
  destruct m.
  reflexivity.
  discriminate.
  intros.
  rewrite <- plus_n_Sm in H.
  destruct m.
  discriminate.
  rewrite <- plus_n_Sm in H.
  apply S_injective in H.
  simpl in H.
  apply S_injective in H.
  apply S_injective.

这些辅助词用在什么地方

Theorem S_injective : forall (n m : nat),
  S n = S m ->
  n = m.
Proof.
  intros n m H1.
  assert (H2: n = pred (S n)). { reflexivity. }
  rewrite H2. rewrite H1. reflexivity.
Qed.
Theorem plus_n_Sm : forall n m : nat,
    S (n + m) = n + (S m).
Proof.
  intros n m. induction n as [| n' IHn'].
  simpl.
  reflexivity.
  simpl.
  rewrite -> IHn'.
  reflexivity.
Qed.

Answer 1

如果你看一下S_injective的声明：

Theorem S_injective : forall (n m : nat),
  S n = S m ->
  n = m.

你会看到它说要证明 n = m 就足以证明 S n = S m。在你应用之前，你要证明S n' = S m，然后你说你只需要证明S (S n') = S (S m)。因为目标中的apply在做一些逆向思考

你想要的是能够说 n = m -> S n = S m。您可以像以前那样手动证明引理，或者您可以使用 f_equal 策略，该策略通常适用于从 n = m 证明 f n = f m 对于任何 f（大致）。

如何使用先前的引理正确简化 coq 目标？

How does one properly simplify a coq goal with a previous lemma?

coq

theorem-proving

coq-tactic