C语言中FLT_DIG、DBL_DIG、LDBL_DIG是如何确定的

Question

FLT_DIG、DBL_DIG、LDBL_DIG分别是float、double、long double类型可以准确表示的小数位数。

#include <stdio.h>
#include <float.h>

int main(void)
{
  printf("%d, %d, %d\n", FLT_DIG, DBL_DIG, LDBL_DIG);
  return 0;
}

打印 6、15 和 18。该标准在第 5.2.4.2.2 节中给出了准确的公式——例如对于浮点数，p = 24 和 b = 2:

但是我不清楚上面的公式（"otherwise"）是怎么推导出来的。有人可以解释一下吗？

以下是我的推理，没有回答问题。考虑在有效位（IEEE-754 标准）中有 23 位的浮点类型。可以准确表示的最大二进制整数为：

  100...00 (25 digits total, because we have an implicit 1)
  = 2^24
  = 10^(24*log(2))

因此#个十进制数字：

= floor(24*log(2)) = 7

而不是标准规定的 floor(23 * log(2)) = 6。

Answer 1

以下是我的看法。免责声明：我只是一个程序员，不是数学家，更不是数论家，你问的问题对他们来说形成了（我相信）一个中心定理。

每个人都知道以 10 为底数：两位数字给你 10² 或 100 个值，三位数字给你 10³ 或 1000 个值，等等

每个程序员都知道以 10 为基数：八位给你 2⁸ 或 256 个值，十六位（两个字节）给你 2¹⁶ 或 65536 个值等

那么问题来了，一个十进制数有多少位？

嗯，2³是8，所以多了3位。而2⁴是16，所以还不到4位。

你知道对数吧？（您询问的公式中有一个，所以我希望您至少对它们有所了解。）对数是求幂的倒数。如果10²是100，那么log₁₀100就是2。如果2⁸是256，那么log₂ 256 是 8.

所以一个十进制数的二进制位数是log₂10，结果大约是3.322。（看，我是对的：大于 3，小于 4。）

我们也可以走另一条路。如果2¹⁶是65536，16位对应多少十进制数？很明显是5左右：我们需要5个数字来写65536。但实际上它必须比5少一点，因为用5个十进制数字我们最多可以表示大约99999个不同的值，这超过了16位。

事实上，根据我们之前的结果，十进制数字中有 3.322 个二进制位，我们需要 16 ÷ 3.322 ≊ 4.8 位十进制数字来准确表示 16 位。

最后，让我们看看浮点数。根据维基百科，IEEE 754 single-precision floating-point format（通常是 C float）具有 24 位的有效值（又名 "mantissa"）。使用我们方便的换算系数，这相当于 24 ÷ 3.322 ≊ 7.2 十进制数字。（实际上，由于 IEEE-754 中的复杂因素，例如非规范化数字和隐式 1 位，它比这更复杂，但现在 7.2 位数字可以作为答案。）

我有点误导你了，因为我一直在使用 log₂10 ≊ 的转换因子； 3.322 在二进制位和十进制数字之间来回切换，而你引用的公式有 log₁₀ b （我们 b 大概是 2)。另外，看：它们乘以 log₁₀ b，而我一直在除以 log₂10。惊喜，惊喜：log₂10 == 1 / (log₁₀ 2)。（我确定有一个很好的证明，但这个答案太长了。）

Answer 2

How are FLT_DIG, DBL_DIG, and LDBL_DIG determined (?)

大致，用p个二进制数，可以编码p*(log₁₀2)个十进制数。每个二进制数字都贡献了大约 .3 个十进制数字。

将浮点值和数字回忆为具有 n 表示数字和指数的十进制文本，在更大的 对数 [=53] 中呈 线性分布 =]分布.

下面的 -1 来自最坏情况下的对齐问题，其中十进制值的分布相对于二进制值最为密集。如果 float 基数为 10，则没有 -1，因为分布对齐。

The below is the reasoning I followed which does not answer the question. ...

根据 here 中的第 6 条，OP 的推理失败了。十进制值与二进制值的对齐并不总是 "work".

A float 作为 binary32 示例。

在 [2³³ 或 8,589,934,592 ... 2³⁴ 或 17,179,869,184) 范围内，再次，2 ²³ (8,388,608) 个值是线性编码的：彼此相距 1024.0。在子范围 [9,000,000,000 和 10,000,000,000) 中，大约有 976,562 个不同的值。

作为文本，范围[9,000,000*10³和10,000,000*10³)，使用1个线索digit 和 6 trailing ones，有 1,000,000 个不同的值。根据 #1，在同一范围内，不同的 float 值少于 1,000,000 个。因此，一些十进制文本值将转换为相同的 float。 在此范围内，我们可以使用 6 个而不是 7 个数字 进行独特的转换。

C语言中FLT_DIG、DBL_DIG、LDBL_DIG是如何确定的

How are FLT_DIG, DBL_DIG, and LDBL_DIG determined in C

c

floating-point

precision

floating-accuracy