向上计数 "broadly"：不是 0,1,2,..,9,10,11,..,99 而是 00, 01, 10, 11, 02, 12, 20, 21, 22, 03, . ., 99
Counting up "broadly": Not 0,1,2,..,9,10,11,..,99 but 00, 01, 10, 11, 02, 12, 20, 21, 22, 03, .., 99
当计数器由固定数量的数字（标题中的 2）组成时，标准 counting-up 通过从最低有效数字递增到最高有效数字并在溢出时重置它来工作。
我想以不同的方式计数：以 10 为基数的 4 位数字将以 2 为基数递增，直到发生溢出回到 0000，但基数增加到 3 为底数虽然 省略了 之前计算的数字，因此只继续 0002, 0012, 0020, 0021, 0022, 0102, 0112, 0120, 0121, 0122, 0200, 0201, 0202, 0210, 0211, ...（固定！） 和所有其他数字至少 one 2 in. 在 2222 时切换到 base-4，因此所有 4 位数字组合至少包含 one 3。最后，从 0000 到 9999 的所有数字都在这个序列中，但顺序不同。
这样 9 就不会出现在序列的最后 10% 之前。
理论上如何实现这样的计数器（没有天真的 digit-presence1 检查）？我可以轻松跳转到此排序的 n-th 元素或倒数吗？是否有实际名称而不是 "broad counting"？
1：A "naive digit-presence check" 将以 2 为基数计数，当切换到 3 进制时，将检查所有生成的数字以确保至少在 2在他们里面。切换到基数 4 后（即 2222-0003 步骤），所有数字必须至少包含一个 3。因此，在 2222 之后，数字 0000、0001、0002 被省略，因为它们缺少 3，因此之前已被枚举。依此类推，base-N表示数字N-1必须至少出现一次.
我制作了一个电子表格来寻找模式。下面显示了以 3 为基数的那些和前几个以 4 为基数的，尽管我的电子表格更高，更清楚地显示了模式。
在'table'中（抱歉缺少table格式），d3到d0是4位数字，str是相同数字的字符串表示，b是当前数字base，d 是深度 - 没有前导零的数字的数量。 pos 是列表中的位置。 (dec) 是显示数字的十进制表示，其基数以正常方式解释，由于存在重复，因此证明是无用的。
请检查 table 以确保我已正确解释您的要求。
一些模式正在出现，例如给定基数的每个深度的条目数与基数之间似乎存在某种 exponential-ish 关系。我现在没有时间花在这上面，但是当我在第二天左右有机会时会进一步编辑这个答案，除非有人抢先一步。
至于这个名字，我不知道。但是请注意，您允许的位数对结果的排序有很大影响。另一方面，理论上没有必要在 9 处停止，数学会继续到您喜欢的任何底数；如果您愿意，您可以像我们通常对十六进制计数所做的那样使用 A、B、C 等。此延续仅受您允许的符号数量限制。
d3d2d1d0str b d pos(dec)
0 0 0 00000 1 0 0 0
0 0 0 10001 2 1 1 1
0 0 1 00010 2 2 2 2
0 0 1 10011 2 2 3 3
0 1 0 00100 2 3 4 4
0 1 0 10101 2 3 5 5
0 1 1 00110 2 3 6 6
0 1 1 10111 2 3 7 7
1 0 0 01000 2 4 8 8
1 0 0 11001 2 4 9 9
1 0 1 01010 2 41010
1 0 1 11011 2 41111
1 1 0 01100 2 41212
1 1 0 11101 2 41313
1 1 1 01110 2 41414
1 1 1 11111 2 41515
0 0 0 20002 3 116 2
0 0 1 20012 3 217 5
0 0 2 20022 3 218 8
0 1 0 20102 3 31911
0 1 1 20112 3 32014
0 1 2 20122 3 32117
1 0 0 21002 3 42229
1 0 1 21012 3 42332
1 0 2 21022 3 42435
1 1 0 21102 3 42538
1 1 1 21112 3 42641
1 1 2 21122 3 42744
2 0 0 22002 3 42856
2 0 1 22012 3 42959
2 0 2 22022 3 43062
2 1 0 22102 3 43165
2 1 1 22112 3 43268
2 1 2 22122 3 43371
2 2 2 22222 3 43480
0 0 0 30003 4 135 3
0 0 1 30013 4 236 7
0 0 2 30023 4 23711
0 0 3 30033 4 23815
0 1 0 30103 4 33919
0 1 1 30113 4 34023
因此，首先您需要按顺序排列所有数字为 0 的数字。即只有 00
然后所有数字为 0,1 的数字：00、01、10、11 但不包括 00
然后所有数字为 0、1、2 的数字：00、01、02、10、11、12、20、21、22 但不包括 00、01、10、11，即所有没有数字的数字数字 2.
通过遍历所有组合并排除已经打印的组合来实现是最简单的。
for(maxdigit=0; maxdigit<10; ++maxdigit) {
for(digit1 = 0; digit1 <= maxdigit; ++digit1) {
for(digit2 = 0; digit2 <= maxdigit; ++digit2) {
for(digit3 = 0; digit3 <= maxdigit; ++digit3) {
for(digit4 = 0; digit4 <= maxdigit; ++digit4) {
if( digit1 < maxdigit && digit2 < maxdigit
&& digit3 < maxdigit && digit4 < maxdigit) continue;
print( digit1, digit2, digit3, digit4);
}}}}
}
要了解其工作原理，您可以在网格中排列 2 位数版本
00 | 01 | 02 | 03 | 04
----- | | |
10 11 | 12 | 13 | 14
---------- | |
20 21 22 | 23 | 24
--------------- |
30 31 32 33 | 34
--------------------
40 41 42 43 44
注意每组数字如何形成 "shells"。在第一个 shell 我们只有一个数字，第一个和第二个 shell 有 4 = 2^2 个数字，第一个，第二个和第三个 shell 有 9 = 3^2 个数字等等
我们可以用它来计算每个 shell 中有多少个数字。在两位数的情况下是 1^2=1, 2^2-1^2=3, 3^2-2^2=5, 4^2-3^2=7.
用三位数代替它的立方体。 1^3=1, 2^3-1^3=9-1 = 8, 3^3-2^3=27-9 = 18, 等等
四位数字的四次方。
通过考虑 shells，我们可以找到一种更有效的做事方式。在 3 位数的情况下，我们有 shell 个立方体，需要计算出通过 shell 的路径。除非你有大量的数字，否则我不确定是否有很多收获。
要获得此顺序，请考虑 3 位数的情况，并令 x、y、z 依次为数字。如果我们正在查看第 k 个 shell，我们希望获得三个平面 x=k、y=k、z=k 上的所有解。这些解决方案分为 x
在伪代码中
for(shell=0;shell<=9;++shell) {
// Do the L shaped part
for(x=0;x<shell;++x) {
// The the y-leg, which has z=k
for(y=0;y<shell;++y)
print(x,y,shell);
// Do the z-leg, which has y=k
for(z=0;z<=shell;++z)
print(x,shell,z);
}
// Now the x=shell face
for(y=0;y<=shell;++y)
for(z=0;z<=shell;++z)
print(shell,y,z);
}
应该可以将其推广到 d 维。让我们这里的坐标为 x1, x2, ..., xd。第 k 个 shell 中的解将位于 (d-1) 维超平面 x1=k, x2=k, ..., xd=k 上。我们再次通过 x1=0 循环到 x1=k-1，x1=0 问题与 d-1 维问题相同，这表明采用递归方法。
// solve the dim-dimensional problem for
// prefix the output with prefix
function solve(int shell,int dim,String prefix) {
if(dim==1) {
// only one solution with the last digit being the shell
print(prefix+shell);
return;
}
// loop through the first digit
for(int x=0;x<shell;++x) {
String prefix2 = prefix + x;
solve(shell,dim-1,prefix2);
}
// Now to the x=k hypercube,
// need to do this in a separate recursion
String prefix2 = prefix + shell;
hypercube(shell,dim-1,prefix2);
}
// all solutions in dim dimensions with a given prefix
function hypercube(int shell,int dim,String prefix) {
if(dim==1) {
for(int x=0;x<=shell;++x)
println(prefix+x);
}
else {
for(int x=0;x<=shell;++x) {
String prefix2 = prefix + x;
hypercube(shell,dim-1,prefix2);
}
}
}
// Now call, here we do the 4 digit version
for(shell=0;shell<=9;++shell) {
solve(shell,4,"");
}
这里是 n 到 4 的所有 4 位 base(n) 数字的 table，省略了前一列中已经列出的所有数字。在这种排列中，一些模式是显而易见的，而且看起来您将不得不跳过以找到下一个未使用的最多的模式是 n-1（忽略零）。您还可以从 n-1 开始计算每个新碱基。给定基数 n 中的大多数数字都是可用的，包括从 (n-1),(n-2)(0)(0) 向上的所有数字。
这种安排表明，朴素的消除方法可能可以找到下一个或上一个数字，但是，再一次，你必须更多地从算法上看模式来回答像 'what does the one at (x) look like' 或'what ordinal position is (yyyy) at' 没有循环。
+-----+------+------+------+------+
| | - | 2 | 3 | 4 |
+-----+------+------+------+------+
| 0 | 0000 | | | |
| 1 | | 0001 | | |
| 2 | | 0010 | 0002 | |
| 3 | | 0011 | | 0003 |
| 4 | | 0100 | | |
| 5 | | 0101 | 0012 | |
| 6 | | 0110 | 0020 | |
| 7 | | 0111 | 0021 | 0013 |
| 8 | | 1000 | 0022 | |
| 9 | | 1001 | | |
| 10 | | 1010 | | |
| 11 | | 1011 | 0102 | 0023 |
| 12 | | 1100 | | 0030 |
| 13 | | 1101 | | 0031 |
| 14 | | 1110 | 0112 | 0032 |
| 15 | | 1111 | 0120 | 0033 |
| 16 | | | 0121 | |
| 17 | | | 0122 | |
| 18 | | | 0200 | |
| 19 | | | 0201 | 0103 |
| 20 | | | 0202 | |
| 21 | | | 0210 | |
| 22 | | | 0211 | |
| 23 | | | 0212 | 0113 |
| 24 | | | 0220 | |
| 25 | | | 0221 | |
| 26 | | | 0222 | |
| 27 | | | | 0123 |
| 28 | | | | 0130 |
| 29 | | | 1002 | 0131 |
| 30 | | | | 0132 |
| 31 | | | | 0133 |
| 32 | | | 1012 | |
| 33 | | | 1020 | |
| 34 | | | 1021 | |
| 35 | | | 1022 | 0203 |
| 36 | | | | |
| 37 | | | | |
| 38 | | | 1102 | |
| 39 | | | | 0213 |
| 40 | | | | |
| 41 | | | 1112 | |
| 42 | | | 1120 | |
| 43 | | | 1121 | 0223 |
| 44 | | | 1122 | 0230 |
| 45 | | | 1200 | 0231 |
| 46 | | | 1201 | 0232 |
| 47 | | | 1202 | 0233 |
| 48 | | | 1210 | 0300 |
| 49 | | | 1211 | 0301 |
| 50 | | | 1212 | 0302 |
| 51 | | | 1220 | 0303 |
| 52 | | | 1221 | 0310 |
| 53 | | | 1222 | 0311 |
| 54 | | | 2000 | 0312 |
| 55 | | | 2001 | 0313 |
| 56 | | | 2002 | 0320 |
| 57 | | | 2010 | 0321 |
| 58 | | | 2011 | 0322 |
| 59 | | | 2012 | 0323 |
| 60 | | | 2020 | 0330 |
| 61 | | | 2021 | 0331 |
| 62 | | | 2022 | 0332 |
| 63 | | | 2100 | 0333 |
| 64 | | | 2101 | |
| 65 | | | 2102 | |
| 66 | | | 2110 | |
| 67 | | | 2111 | 1003 |
| 68 | | | 2112 | |
| 69 | | | 2120 | |
| 70 | | | 2121 | |
| 71 | | | 2122 | 1013 |
| 72 | | | 2200 | |
| 73 | | | 2201 | |
| 74 | | | 2202 | |
| 75 | | | 2210 | 1023 |
| 76 | | | 2211 | 1030 |
| 77 | | | 2212 | 1031 |
| 78 | | | 2220 | 1032 |
| 79 | | | 2221 | 1033 |
| 80 | | | 2222 | |
| 81 | | | | |
| 82 | | | | |
| 83 | | | | 1103 |
| 84 | | | | |
| 85 | | | | |
| 86 | | | | |
| 87 | | | | 1113 |
| 88 | | | | |
| 89 | | | | |
| 90 | | | | |
| 91 | | | | 1123 |
| 92 | | | | 1130 |
| 93 | | | | 1131 |
| 94 | | | | 1132 |
| 95 | | | | 1133 |
| 96 | | | | |
| 97 | | | | |
| 98 | | | | |
| 99 | | | | 1203 |
| 100 | | | | |
| 101 | | | | |
| 102 | | | | |
| 103 | | | | 1213 |
| 104 | | | | |
| 105 | | | | |
| 106 | | | | |
| 107 | | | | 1223 |
| 108 | | | | 1230 |
| 109 | | | | 1231 |
| 110 | | | | 1232 |
| 111 | | | | 1233 |
| 112 | | | | 1300 |
| 113 | | | | 1301 |
| 114 | | | | 1302 |
| 115 | | | | 1303 |
| 116 | | | | 1310 |
| 117 | | | | 1311 |
| 118 | | | | 1312 |
| 119 | | | | 1313 |
| 120 | | | | 1320 |
| 121 | | | | 1321 |
| 122 | | | | 1322 |
| 123 | | | | 1323 |
| 124 | | | | 1330 |
| 125 | | | | 1331 |
| 126 | | | | 1332 |
| 127 | | | | 1333 |
| 128 | | | | |
| 129 | | | | |
| 130 | | | | |
| 131 | | | | 2003 |
| 132 | | | | |
| 133 | | | | |
| 134 | | | | |
| 135 | | | | 2013 |
| 136 | | | | |
| 137 | | | | |
| 138 | | | | |
| 139 | | | | 2023 |
| 140 | | | | 2030 |
| 141 | | | | 2031 |
| 142 | | | | 2032 |
| 143 | | | | 2033 |
| 144 | | | | |
| 145 | | | | |
| 146 | | | | |
| 147 | | | | 2103 |
| 148 | | | | |
| 149 | | | | |
| 150 | | | | |
| 151 | | | | 2113 |
| 152 | | | | |
| 153 | | | | |
| 154 | | | | |
| 155 | | | | 2123 |
| 156 | | | | 2130 |
| 157 | | | | 2131 |
| 158 | | | | 2132 |
| 159 | | | | 2133 |
| 160 | | | | |
| 161 | | | | |
| 162 | | | | |
| 163 | | | | 2203 |
| 164 | | | | |
| 165 | | | | |
| 166 | | | | |
| 167 | | | | 2213 |
| 168 | | | | |
| 169 | | | | |
| 170 | | | | |
| 171 | | | | 2223 |
| 172 | | | | 2230 |
| 173 | | | | 2231 |
| 174 | | | | 2232 |
| 175 | | | | 2233 |
| 176 | | | | 2300 |
| 177 | | | | 2301 |
| 178 | | | | 2302 |
| 179 | | | | 2303 |
| 180 | | | | 2310 |
| 181 | | | | 2311 |
| 182 | | | | 2312 |
| 183 | | | | 2313 |
| 184 | | | | 2320 |
| 185 | | | | 2321 |
| 186 | | | | 2322 |
| 187 | | | | 2323 |
| 188 | | | | 2330 |
| 189 | | | | 2331 |
| 190 | | | | 2332 |
| 191 | | | | 2333 |
| 192 | | | | 3000 |
| 193 | | | | 3001 |
| 194 | | | | 3002 |
| 195 | | | | 3003 |
| 196 | | | | 3010 |
| 197 | | | | 3011 |
| 198 | | | | 3012 |
| 199 | | | | 3013 |
| 200 | | | | 3020 |
| 201 | | | | 3021 |
| 202 | | | | 3022 |
| 203 | | | | 3023 |
| 204 | | | | 3030 |
| 205 | | | | 3031 |
| 206 | | | | 3032 |
| 207 | | | | 3033 |
| 208 | | | | 3100 |
| 209 | | | | 3101 |
| 210 | | | | 3102 |
| 211 | | | | 3103 |
| 212 | | | | 3110 |
| 213 | | | | 3111 |
| 214 | | | | 3112 |
| 215 | | | | 3113 |
| 216 | | | | 3120 |
| 217 | | | | 3121 |
| 218 | | | | 3122 |
| 219 | | | | 3123 |
| 220 | | | | 3130 |
| 221 | | | | 3131 |
| 222 | | | | 3132 |
| 223 | | | | 3133 |
| 224 | | | | 3200 |
| 225 | | | | 3201 |
| 226 | | | | 3202 |
| 227 | | | | 3203 |
| 228 | | | | 3210 |
| 229 | | | | 3211 |
| 230 | | | | 3212 |
| 231 | | | | 3213 |
| 232 | | | | 3220 |
| 233 | | | | 3221 |
| 234 | | | | 3222 |
| 235 | | | | 3223 |
| 236 | | | | 3230 |
| 237 | | | | 3231 |
| 238 | | | | 3232 |
| 239 | | | | 3233 |
| 240 | | | | 3300 |
| 241 | | | | 3301 |
| 242 | | | | 3302 |
| 243 | | | | 3303 |
| 244 | | | | 3310 |
| 245 | | | | 3311 |
| 246 | | | | 3312 |
| 247 | | | | 3313 |
| 248 | | | | 3320 |
| 249 | | | | 3321 |
| 250 | | | | 3322 |
| 251 | | | | 3323 |
| 252 | | | | 3330 |
| 253 | | | | 3331 |
| 254 | | | | 3332 |
| 255 | | | | 3333 |
+-----+------+------+------+------+
编辑：当你走得更宽时，图案会更清晰。这是以 11 为底数的所有 2 位数（因为......为什么不呢？）
+-----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
| | - | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
+-----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
| 0 | 00 | | | | | | | | | | |
| 1 | | 01 | | | | | | | | | |
| 2 | | 10 | 02 | | | | | | | | |
| 3 | | 11 | | 03 | | | | | | | |
| 4 | | | | | 04 | | | | | | |
| 5 | | | 12 | | | 05 | | | | | |
| 6 | | | 20 | | | | 06 | | | | |
| 7 | | | 21 | 13 | | | | 07 | | | |
| 8 | | | 22 | | | | | | 08 | | |
| 9 | | | | | 14 | | | | | 09 | |
| 10 | | | | | | | | | | | 0A |
| 11 | | | | 23 | | 15 | | | | | |
| 12 | | | | 30 | | | | | | | |
| 13 | | | | 31 | | | 16 | | | | |
| 14 | | | | 32 | 24 | | | | | | |
| 15 | | | | 33 | | | | 17 | | | |
| 16 | | | | | | | | | | | |
| 17 | | | | | | 25 | | | 18 | | |
| 18 | | | | | | | | | | | |
| 19 | | | | | 34 | | | | | 19 | |
| 20 | | | | | 40 | | 26 | | | | |
| 21 | | | | | 41 | | | | | | 1A |
| 22 | | | | | 42 | | | | | | |
| 23 | | | | | 43 | 35 | | 27 | | | |
| 24 | | | | | 44 | | | | | | |
| 25 | | | | | | | | | | | |
| 26 | | | | | | | | | 28 | | |
| 27 | | | | | | | 36 | | | | |
| 28 | | | | | | | | | | | |
| 29 | | | | | | 45 | | | | 29 | |
| 30 | | | | | | 50 | | | | | |
| 31 | | | | | | 51 | | 37 | | | |
| 32 | | | | | | 52 | | | | | 2A |
| 33 | | | | | | 53 | | | | | |
| 34 | | | | | | 54 | 46 | | | | |
| 35 | | | | | | 55 | | | 38 | | |
| 36 | | | | | | | | | | | |
| 37 | | | | | | | | | | | |
| 38 | | | | | | | | | | | |
| 39 | | | | | | | | 47 | | 39 | |
| 40 | | | | | | | | | | | |
| 41 | | | | | | | 56 | | | | |
| 42 | | | | | | | 60 | | | | |
| 43 | | | | | | | 61 | | | | 3A |
| 44 | | | | | | | 62 | | 48 | | |
| 45 | | | | | | | 63 | | | | |
| 46 | | | | | | | 64 | | | | |
| 47 | | | | | | | 65 | 57 | | | |
| 48 | | | | | | | 66 | | | | |
| 49 | | | | | | | | | | 49 | |
| 50 | | | | | | | | | | | |
| 51 | | | | | | | | | | | |
| 52 | | | | | | | | | | | |
| 53 | | | | | | | | | 58 | | |
| 54 | | | | | | | | | | | 4A |
| 55 | | | | | | | | 67 | | | |
| 56 | | | | | | | | 70 | | | |
| 57 | | | | | | | | 71 | | | |
| 58 | | | | | | | | 72 | | | |
| 59 | | | | | | | | 73 | | 59 | |
| 60 | | | | | | | | 74 | | | |
| 61 | | | | | | | | 75 | | | |
| 62 | | | | | | | | 76 | 68 | | |
| 63 | | | | | | | | 77 | | | |
| 64 | | | | | | | | | | | |
| 65 | | | | | | | | | | | 5A |
| 66 | | | | | | | | | | | |
| 67 | | | | | | | | | | | |
| 68 | | | | | | | | | | | |
| 69 | | | | | | | | | | 69 | |
| 70 | | | | | | | | | | | |
| 71 | | | | | | | | | 78 | | |
| 72 | | | | | | | | | 80 | | |
| 73 | | | | | | | | | 81 | | |
| 74 | | | | | | | | | 82 | | |
| 75 | | | | | | | | | 83 | | |
| 76 | | | | | | | | | 84 | | 6A |
| 77 | | | | | | | | | 85 | | |
| 78 | | | | | | | | | 86 | | |
| 79 | | | | | | | | | 87 | 79 | |
| 80 | | | | | | | | | 88 | | |
| 81 | | | | | | | | | | | |
| 82 | | | | | | | | | | | |
| 83 | | | | | | | | | | | |
| 84 | | | | | | | | | | | |
| 85 | | | | | | | | | | | |
| 86 | | | | | | | | | | | |
| 87 | | | | | | | | | | | 7A |
| 88 | | | | | | | | | | | |
| 89 | | | | | | | | | | 89 | |
| 90 | | | | | | | | | | 90 | |
| 91 | | | | | | | | | | 91 | |
| 92 | | | | | | | | | | 92 | |
| 93 | | | | | | | | | | 93 | |
| 94 | | | | | | | | | | 94 | |
| 95 | | | | | | | | | | 95 | |
| 96 | | | | | | | | | | 96 | |
| 97 | | | | | | | | | | 97 | |
| 98 | | | | | | | | | | 98 | 8A |
| 99 | | | | | | | | | | 99 | |
| 100 | | | | | | | | | | | |
| 101 | | | | | | | | | | | |
| 102 | | | | | | | | | | | |
| 103 | | | | | | | | | | | |
| 104 | | | | | | | | | | | |
| 105 | | | | | | | | | | | |
| 106 | | | | | | | | | | | |
| 107 | | | | | | | | | | | |
| 108 | | | | | | | | | | | |
| 109 | | | | | | | | | | | 9A |
| 110 | | | | | | | | | | | A0 |
| 111 | | | | | | | | | | | A1 |
| 112 | | | | | | | | | | | A2 |
| 113 | | | | | | | | | | | A3 |
| 114 | | | | | | | | | | | A4 |
| 115 | | | | | | | | | | | A5 |
| 116 | | | | | | | | | | | A6 |
| 117 | | | | | | | | | | | A7 |
| 118 | | | | | | | | | | | A8 |
| 119 | | | | | | | | | | | A9 |
| 120 | | | | | | | | | | | AA |
+-----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
当计数器由固定数量的数字（标题中的 2）组成时，标准 counting-up 通过从最低有效数字递增到最高有效数字并在溢出时重置它来工作。
我想以不同的方式计数：以 10 为基数的 4 位数字将以 2 为基数递增，直到发生溢出回到 0000，但基数增加到 3 为底数虽然 省略了 之前计算的数字，因此只继续 0002, 0012, 0020, 0021, 0022, 0102, 0112, 0120, 0121, 0122, 0200, 0201, 0202, 0210, 0211, ...（固定！） 和所有其他数字至少 one 2 in. 在 2222 时切换到 base-4，因此所有 4 位数字组合至少包含 one 3。最后，从 0000 到 9999 的所有数字都在这个序列中，但顺序不同。
这样 9 就不会出现在序列的最后 10% 之前。
理论上如何实现这样的计数器（没有天真的 digit-presence1 检查）？我可以轻松跳转到此排序的 n-th 元素或倒数吗？是否有实际名称而不是 "broad counting"？
1：A "naive digit-presence check" 将以 2 为基数计数，当切换到 3 进制时，将检查所有生成的数字以确保至少在 2在他们里面。切换到基数 4 后（即 2222-0003 步骤），所有数字必须至少包含一个 3。因此，在 2222 之后，数字 0000、0001、0002 被省略，因为它们缺少 3，因此之前已被枚举。依此类推，base-N表示数字N-1必须至少出现一次.
我制作了一个电子表格来寻找模式。下面显示了以 3 为基数的那些和前几个以 4 为基数的，尽管我的电子表格更高，更清楚地显示了模式。
在'table'中（抱歉缺少table格式），d3到d0是4位数字，str是相同数字的字符串表示，b是当前数字base，d 是深度 - 没有前导零的数字的数量。 pos 是列表中的位置。 (dec) 是显示数字的十进制表示，其基数以正常方式解释，由于存在重复，因此证明是无用的。
请检查 table 以确保我已正确解释您的要求。
一些模式正在出现，例如给定基数的每个深度的条目数与基数之间似乎存在某种 exponential-ish 关系。我现在没有时间花在这上面，但是当我在第二天左右有机会时会进一步编辑这个答案，除非有人抢先一步。
至于这个名字，我不知道。但是请注意，您允许的位数对结果的排序有很大影响。另一方面，理论上没有必要在 9 处停止，数学会继续到您喜欢的任何底数；如果您愿意，您可以像我们通常对十六进制计数所做的那样使用 A、B、C 等。此延续仅受您允许的符号数量限制。
d3d2d1d0strbdpos(dec)
000000001000
000100012111
001000102222
001100112233
010001002344
010101012355
011001102366
011101112377
100010002488
100110012499
10101010241010
10111011241111
11001100241212
11011101241313
11101110241414
11111111241515
0002000231162
0012001232175
0022002232188
01020102331911
01120112332014
01220122332117
10021002342229
10121012342332
10221022342435
11021102342538
11121112342641
11221122342744
20022002342856
20122012342959
20222022343062
21022102343165
21122112343268
21222122343371
22222222343480
0003000341353
0013001342367
00230023423711
00330033423815
01030103433919
01130113434023
因此，首先您需要按顺序排列所有数字为 0 的数字。即只有 00
然后所有数字为 0,1 的数字：00、01、10、11 但不包括 00
然后所有数字为 0、1、2 的数字：00、01、02、10、11、12、20、21、22 但不包括 00、01、10、11，即所有没有数字的数字数字 2.
通过遍历所有组合并排除已经打印的组合来实现是最简单的。
for(maxdigit=0; maxdigit<10; ++maxdigit) {
for(digit1 = 0; digit1 <= maxdigit; ++digit1) {
for(digit2 = 0; digit2 <= maxdigit; ++digit2) {
for(digit3 = 0; digit3 <= maxdigit; ++digit3) {
for(digit4 = 0; digit4 <= maxdigit; ++digit4) {
if( digit1 < maxdigit && digit2 < maxdigit
&& digit3 < maxdigit && digit4 < maxdigit) continue;
print( digit1, digit2, digit3, digit4);
}}}}
}
要了解其工作原理，您可以在网格中排列 2 位数版本
00 | 01 | 02 | 03 | 04
----- | | |
10 11 | 12 | 13 | 14
---------- | |
20 21 22 | 23 | 24
--------------- |
30 31 32 33 | 34
--------------------
40 41 42 43 44
注意每组数字如何形成 "shells"。在第一个 shell 我们只有一个数字，第一个和第二个 shell 有 4 = 2^2 个数字，第一个，第二个和第三个 shell 有 9 = 3^2 个数字等等
我们可以用它来计算每个 shell 中有多少个数字。在两位数的情况下是 1^2=1, 2^2-1^2=3, 3^2-2^2=5, 4^2-3^2=7.
用三位数代替它的立方体。 1^3=1, 2^3-1^3=9-1 = 8, 3^3-2^3=27-9 = 18, 等等
四位数字的四次方。
通过考虑 shells，我们可以找到一种更有效的做事方式。在 3 位数的情况下，我们有 shell 个立方体，需要计算出通过 shell 的路径。除非你有大量的数字，否则我不确定是否有很多收获。
要获得此顺序，请考虑 3 位数的情况，并令 x、y、z 依次为数字。如果我们正在查看第 k 个 shell，我们希望获得三个平面 x=k、y=k、z=k 上的所有解。这些解决方案分为 x
在伪代码中
for(shell=0;shell<=9;++shell) {
// Do the L shaped part
for(x=0;x<shell;++x) {
// The the y-leg, which has z=k
for(y=0;y<shell;++y)
print(x,y,shell);
// Do the z-leg, which has y=k
for(z=0;z<=shell;++z)
print(x,shell,z);
}
// Now the x=shell face
for(y=0;y<=shell;++y)
for(z=0;z<=shell;++z)
print(shell,y,z);
}
应该可以将其推广到 d 维。让我们这里的坐标为 x1, x2, ..., xd。第 k 个 shell 中的解将位于 (d-1) 维超平面 x1=k, x2=k, ..., xd=k 上。我们再次通过 x1=0 循环到 x1=k-1，x1=0 问题与 d-1 维问题相同，这表明采用递归方法。
// solve the dim-dimensional problem for
// prefix the output with prefix
function solve(int shell,int dim,String prefix) {
if(dim==1) {
// only one solution with the last digit being the shell
print(prefix+shell);
return;
}
// loop through the first digit
for(int x=0;x<shell;++x) {
String prefix2 = prefix + x;
solve(shell,dim-1,prefix2);
}
// Now to the x=k hypercube,
// need to do this in a separate recursion
String prefix2 = prefix + shell;
hypercube(shell,dim-1,prefix2);
}
// all solutions in dim dimensions with a given prefix
function hypercube(int shell,int dim,String prefix) {
if(dim==1) {
for(int x=0;x<=shell;++x)
println(prefix+x);
}
else {
for(int x=0;x<=shell;++x) {
String prefix2 = prefix + x;
hypercube(shell,dim-1,prefix2);
}
}
}
// Now call, here we do the 4 digit version
for(shell=0;shell<=9;++shell) {
solve(shell,4,"");
}
这里是 n 到 4 的所有 4 位 base(n) 数字的 table，省略了前一列中已经列出的所有数字。在这种排列中，一些模式是显而易见的，而且看起来您将不得不跳过以找到下一个未使用的最多的模式是 n-1（忽略零）。您还可以从 n-1 开始计算每个新碱基。给定基数 n 中的大多数数字都是可用的，包括从 (n-1),(n-2)(0)(0) 向上的所有数字。
这种安排表明，朴素的消除方法可能可以找到下一个或上一个数字，但是，再一次，你必须更多地从算法上看模式来回答像 'what does the one at (x) look like' 或'what ordinal position is (yyyy) at' 没有循环。
+-----+------+------+------+------+
| | - | 2 | 3 | 4 |
+-----+------+------+------+------+
| 0 | 0000 | | | |
| 1 | | 0001 | | |
| 2 | | 0010 | 0002 | |
| 3 | | 0011 | | 0003 |
| 4 | | 0100 | | |
| 5 | | 0101 | 0012 | |
| 6 | | 0110 | 0020 | |
| 7 | | 0111 | 0021 | 0013 |
| 8 | | 1000 | 0022 | |
| 9 | | 1001 | | |
| 10 | | 1010 | | |
| 11 | | 1011 | 0102 | 0023 |
| 12 | | 1100 | | 0030 |
| 13 | | 1101 | | 0031 |
| 14 | | 1110 | 0112 | 0032 |
| 15 | | 1111 | 0120 | 0033 |
| 16 | | | 0121 | |
| 17 | | | 0122 | |
| 18 | | | 0200 | |
| 19 | | | 0201 | 0103 |
| 20 | | | 0202 | |
| 21 | | | 0210 | |
| 22 | | | 0211 | |
| 23 | | | 0212 | 0113 |
| 24 | | | 0220 | |
| 25 | | | 0221 | |
| 26 | | | 0222 | |
| 27 | | | | 0123 |
| 28 | | | | 0130 |
| 29 | | | 1002 | 0131 |
| 30 | | | | 0132 |
| 31 | | | | 0133 |
| 32 | | | 1012 | |
| 33 | | | 1020 | |
| 34 | | | 1021 | |
| 35 | | | 1022 | 0203 |
| 36 | | | | |
| 37 | | | | |
| 38 | | | 1102 | |
| 39 | | | | 0213 |
| 40 | | | | |
| 41 | | | 1112 | |
| 42 | | | 1120 | |
| 43 | | | 1121 | 0223 |
| 44 | | | 1122 | 0230 |
| 45 | | | 1200 | 0231 |
| 46 | | | 1201 | 0232 |
| 47 | | | 1202 | 0233 |
| 48 | | | 1210 | 0300 |
| 49 | | | 1211 | 0301 |
| 50 | | | 1212 | 0302 |
| 51 | | | 1220 | 0303 |
| 52 | | | 1221 | 0310 |
| 53 | | | 1222 | 0311 |
| 54 | | | 2000 | 0312 |
| 55 | | | 2001 | 0313 |
| 56 | | | 2002 | 0320 |
| 57 | | | 2010 | 0321 |
| 58 | | | 2011 | 0322 |
| 59 | | | 2012 | 0323 |
| 60 | | | 2020 | 0330 |
| 61 | | | 2021 | 0331 |
| 62 | | | 2022 | 0332 |
| 63 | | | 2100 | 0333 |
| 64 | | | 2101 | |
| 65 | | | 2102 | |
| 66 | | | 2110 | |
| 67 | | | 2111 | 1003 |
| 68 | | | 2112 | |
| 69 | | | 2120 | |
| 70 | | | 2121 | |
| 71 | | | 2122 | 1013 |
| 72 | | | 2200 | |
| 73 | | | 2201 | |
| 74 | | | 2202 | |
| 75 | | | 2210 | 1023 |
| 76 | | | 2211 | 1030 |
| 77 | | | 2212 | 1031 |
| 78 | | | 2220 | 1032 |
| 79 | | | 2221 | 1033 |
| 80 | | | 2222 | |
| 81 | | | | |
| 82 | | | | |
| 83 | | | | 1103 |
| 84 | | | | |
| 85 | | | | |
| 86 | | | | |
| 87 | | | | 1113 |
| 88 | | | | |
| 89 | | | | |
| 90 | | | | |
| 91 | | | | 1123 |
| 92 | | | | 1130 |
| 93 | | | | 1131 |
| 94 | | | | 1132 |
| 95 | | | | 1133 |
| 96 | | | | |
| 97 | | | | |
| 98 | | | | |
| 99 | | | | 1203 |
| 100 | | | | |
| 101 | | | | |
| 102 | | | | |
| 103 | | | | 1213 |
| 104 | | | | |
| 105 | | | | |
| 106 | | | | |
| 107 | | | | 1223 |
| 108 | | | | 1230 |
| 109 | | | | 1231 |
| 110 | | | | 1232 |
| 111 | | | | 1233 |
| 112 | | | | 1300 |
| 113 | | | | 1301 |
| 114 | | | | 1302 |
| 115 | | | | 1303 |
| 116 | | | | 1310 |
| 117 | | | | 1311 |
| 118 | | | | 1312 |
| 119 | | | | 1313 |
| 120 | | | | 1320 |
| 121 | | | | 1321 |
| 122 | | | | 1322 |
| 123 | | | | 1323 |
| 124 | | | | 1330 |
| 125 | | | | 1331 |
| 126 | | | | 1332 |
| 127 | | | | 1333 |
| 128 | | | | |
| 129 | | | | |
| 130 | | | | |
| 131 | | | | 2003 |
| 132 | | | | |
| 133 | | | | |
| 134 | | | | |
| 135 | | | | 2013 |
| 136 | | | | |
| 137 | | | | |
| 138 | | | | |
| 139 | | | | 2023 |
| 140 | | | | 2030 |
| 141 | | | | 2031 |
| 142 | | | | 2032 |
| 143 | | | | 2033 |
| 144 | | | | |
| 145 | | | | |
| 146 | | | | |
| 147 | | | | 2103 |
| 148 | | | | |
| 149 | | | | |
| 150 | | | | |
| 151 | | | | 2113 |
| 152 | | | | |
| 153 | | | | |
| 154 | | | | |
| 155 | | | | 2123 |
| 156 | | | | 2130 |
| 157 | | | | 2131 |
| 158 | | | | 2132 |
| 159 | | | | 2133 |
| 160 | | | | |
| 161 | | | | |
| 162 | | | | |
| 163 | | | | 2203 |
| 164 | | | | |
| 165 | | | | |
| 166 | | | | |
| 167 | | | | 2213 |
| 168 | | | | |
| 169 | | | | |
| 170 | | | | |
| 171 | | | | 2223 |
| 172 | | | | 2230 |
| 173 | | | | 2231 |
| 174 | | | | 2232 |
| 175 | | | | 2233 |
| 176 | | | | 2300 |
| 177 | | | | 2301 |
| 178 | | | | 2302 |
| 179 | | | | 2303 |
| 180 | | | | 2310 |
| 181 | | | | 2311 |
| 182 | | | | 2312 |
| 183 | | | | 2313 |
| 184 | | | | 2320 |
| 185 | | | | 2321 |
| 186 | | | | 2322 |
| 187 | | | | 2323 |
| 188 | | | | 2330 |
| 189 | | | | 2331 |
| 190 | | | | 2332 |
| 191 | | | | 2333 |
| 192 | | | | 3000 |
| 193 | | | | 3001 |
| 194 | | | | 3002 |
| 195 | | | | 3003 |
| 196 | | | | 3010 |
| 197 | | | | 3011 |
| 198 | | | | 3012 |
| 199 | | | | 3013 |
| 200 | | | | 3020 |
| 201 | | | | 3021 |
| 202 | | | | 3022 |
| 203 | | | | 3023 |
| 204 | | | | 3030 |
| 205 | | | | 3031 |
| 206 | | | | 3032 |
| 207 | | | | 3033 |
| 208 | | | | 3100 |
| 209 | | | | 3101 |
| 210 | | | | 3102 |
| 211 | | | | 3103 |
| 212 | | | | 3110 |
| 213 | | | | 3111 |
| 214 | | | | 3112 |
| 215 | | | | 3113 |
| 216 | | | | 3120 |
| 217 | | | | 3121 |
| 218 | | | | 3122 |
| 219 | | | | 3123 |
| 220 | | | | 3130 |
| 221 | | | | 3131 |
| 222 | | | | 3132 |
| 223 | | | | 3133 |
| 224 | | | | 3200 |
| 225 | | | | 3201 |
| 226 | | | | 3202 |
| 227 | | | | 3203 |
| 228 | | | | 3210 |
| 229 | | | | 3211 |
| 230 | | | | 3212 |
| 231 | | | | 3213 |
| 232 | | | | 3220 |
| 233 | | | | 3221 |
| 234 | | | | 3222 |
| 235 | | | | 3223 |
| 236 | | | | 3230 |
| 237 | | | | 3231 |
| 238 | | | | 3232 |
| 239 | | | | 3233 |
| 240 | | | | 3300 |
| 241 | | | | 3301 |
| 242 | | | | 3302 |
| 243 | | | | 3303 |
| 244 | | | | 3310 |
| 245 | | | | 3311 |
| 246 | | | | 3312 |
| 247 | | | | 3313 |
| 248 | | | | 3320 |
| 249 | | | | 3321 |
| 250 | | | | 3322 |
| 251 | | | | 3323 |
| 252 | | | | 3330 |
| 253 | | | | 3331 |
| 254 | | | | 3332 |
| 255 | | | | 3333 |
+-----+------+------+------+------+
编辑：当你走得更宽时，图案会更清晰。这是以 11 为底数的所有 2 位数（因为......为什么不呢？）
+-----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
| | - | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
+-----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+
| 0 | 00 | | | | | | | | | | |
| 1 | | 01 | | | | | | | | | |
| 2 | | 10 | 02 | | | | | | | | |
| 3 | | 11 | | 03 | | | | | | | |
| 4 | | | | | 04 | | | | | | |
| 5 | | | 12 | | | 05 | | | | | |
| 6 | | | 20 | | | | 06 | | | | |
| 7 | | | 21 | 13 | | | | 07 | | | |
| 8 | | | 22 | | | | | | 08 | | |
| 9 | | | | | 14 | | | | | 09 | |
| 10 | | | | | | | | | | | 0A |
| 11 | | | | 23 | | 15 | | | | | |
| 12 | | | | 30 | | | | | | | |
| 13 | | | | 31 | | | 16 | | | | |
| 14 | | | | 32 | 24 | | | | | | |
| 15 | | | | 33 | | | | 17 | | | |
| 16 | | | | | | | | | | | |
| 17 | | | | | | 25 | | | 18 | | |
| 18 | | | | | | | | | | | |
| 19 | | | | | 34 | | | | | 19 | |
| 20 | | | | | 40 | | 26 | | | | |
| 21 | | | | | 41 | | | | | | 1A |
| 22 | | | | | 42 | | | | | | |
| 23 | | | | | 43 | 35 | | 27 | | | |
| 24 | | | | | 44 | | | | | | |
| 25 | | | | | | | | | | | |
| 26 | | | | | | | | | 28 | | |
| 27 | | | | | | | 36 | | | | |
| 28 | | | | | | | | | | | |
| 29 | | | | | | 45 | | | | 29 | |
| 30 | | | | | | 50 | | | | | |
| 31 | | | | | | 51 | | 37 | | | |
| 32 | | | | | | 52 | | | | | 2A |
| 33 | | | | | | 53 | | | | | |
| 34 | | | | | | 54 | 46 | | | | |
| 35 | | | | | | 55 | | | 38 | | |
| 36 | | | | | | | | | | | |
| 37 | | | | | | | | | | | |
| 38 | | | | | | | | | | | |
| 39 | | | | | | | | 47 | | 39 | |
| 40 | | | | | | | | | | | |
| 41 | | | | | | | 56 | | | | |
| 42 | | | | | | | 60 | | | | |
| 43 | | | | | | | 61 | | | | 3A |
| 44 | | | | | | | 62 | | 48 | | |
| 45 | | | | | | | 63 | | | | |
| 46 | | | | | | | 64 | | | | |
| 47 | | | | | | | 65 | 57 | | | |
| 48 | | | | | | | 66 | | | | |
| 49 | | | | | | | | | | 49 | |
| 50 | | | | | | | | | | | |
| 51 | | | | | | | | | | | |
| 52 | | | | | | | | | | | |
| 53 | | | | | | | | | 58 | | |
| 54 | | | | | | | | | | | 4A |
| 55 | | | | | | | | 67 | | | |
| 56 | | | | | | | | 70 | | | |
| 57 | | | | | | | | 71 | | | |
| 58 | | | | | | | | 72 | | | |
| 59 | | | | | | | | 73 | | 59 | |
| 60 | | | | | | | | 74 | | | |
| 61 | | | | | | | | 75 | | | |
| 62 | | | | | | | | 76 | 68 | | |
| 63 | | | | | | | | 77 | | | |
| 64 | | | | | | | | | | | |
| 65 | | | | | | | | | | | 5A |
| 66 | | | | | | | | | | | |
| 67 | | | | | | | | | | | |
| 68 | | | | | | | | | | | |
| 69 | | | | | | | | | | 69 | |
| 70 | | | | | | | | | | | |
| 71 | | | | | | | | | 78 | | |
| 72 | | | | | | | | | 80 | | |
| 73 | | | | | | | | | 81 | | |
| 74 | | | | | | | | | 82 | | |
| 75 | | | | | | | | | 83 | | |
| 76 | | | | | | | | | 84 | | 6A |
| 77 | | | | | | | | | 85 | | |
| 78 | | | | | | | | | 86 | | |
| 79 | | | | | | | | | 87 | 79 | |
| 80 | | | | | | | | | 88 | | |
| 81 | | | | | | | | | | | |
| 82 | | | | | | | | | | | |
| 83 | | | | | | | | | | | |
| 84 | | | | | | | | | | | |
| 85 | | | | | | | | | | | |
| 86 | | | | | | | | | | | |
| 87 | | | | | | | | | | | 7A |
| 88 | | | | | | | | | | | |
| 89 | | | | | | | | | | 89 | |
| 90 | | | | | | | | | | 90 | |
| 91 | | | | | | | | | | 91 | |
| 92 | | | | | | | | | | 92 | |
| 93 | | | | | | | | | | 93 | |
| 94 | | | | | | | | | | 94 | |
| 95 | | | | | | | | | | 95 | |
| 96 | | | | | | | | | | 96 | |
| 97 | | | | | | | | | | 97 | |
| 98 | | | | | | | | | | 98 | 8A |
| 99 | | | | | | | | | | 99 | |
| 100 | | | | | | | | | | | |
| 101 | | | | | | | | | | | |
| 102 | | | | | | | | | | | |
| 103 | | | | | | | | | | | |
| 104 | | | | | | | | | | | |
| 105 | | | | | | | | | | | |
| 106 | | | | | | | | | | | |
| 107 | | | | | | | | | | | |
| 108 | | | | | | | | | | | |
| 109 | | | | | | | | | | | 9A |
| 110 | | | | | | | | | | | A0 |
| 111 | | | | | | | | | | | A1 |
| 112 | | | | | | | | | | | A2 |
| 113 | | | | | | | | | | | A3 |
| 114 | | | | | | | | | | | A4 |
| 115 | | | | | | | | | | | A5 |
| 116 | | | | | | | | | | | A6 |
| 117 | | | | | | | | | | | A7 |
| 118 | | | | | | | | | | | A8 |
| 119 | | | | | | | | | | | A9 |
| 120 | | | | | | | | | | | AA |
+-----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+----+