查询的最小 XOR

Question

我在面试中被问到以下问题。

给定一个包含 N 个元素的数组 A 和一个包含 [=41] 个元素的数组 B =]M个元素。对于每个 B[X] return A[I]，其中 A[I] 和 B[X] 的异或最小值。

例如：

输入

A = [3, 2, 9, 6, 1]
B = [4, 8, 5, 9]

输出

[6, 9, 6, 9]

因为当A[I] = 6

时，4与中的任何元素异或都会出现最小值

这是我在 python 中的暴力解决方案。

def get_min_xor(A, B):

    ans = []

    for val_b in B:
        min_xor = val_b ^ A[0]

        for val_a in A:
            min_xor = min(min_xor, val_b ^ val_a)
            # print("{} ^ {} = {}".format(val_b, val_a, val_b ^ val_a))

        ans.append(min_xor ^ val_b)

    return ans

关于如何在子 O(MxN) 时间复杂度内解决这个问题有什么想法吗？

我有以下想法。我会在 O(NlogN) 时间内对数组 A 进行排序，然后对 B 中的每个元素进行排序。我会尝试使用二进制 search.Let 找到它在数组 A 中的位置，比如 B[X] 适合然后我会检查 B[X] ^ A[i-1] 和 B[X] ^ A[i+1] 的最小 XOR。但这种方法并非在所有情况下都有效。比如下面的输入

A = [1,2,3]
B = [2, 5, 8]

输出：

[2, 1, 1]

这是 trie 解决方案。

class trie(object):
    head = {}

    def convert_number(self, number):
        return format(number, '#032b')

    def add(self, number):
        cur_dict = self.head

        binary_number = self.convert_number(number)

        for bit in binary_number:

            if bit not in cur_dict:
                cur_dict[bit] = {}
            cur_dict = cur_dict[bit]

        cur_dict[number] = True

    def search(self, number):
        cur_dict = self.head

        binary_number = self.convert_number(number)

        for bit in binary_number:
            if bit not in cur_dict:
                if bit == "1":
                    cur_dict = cur_dict["0"]
                else:
                    cur_dict = cur_dict["1"]
            else:
                cur_dict = cur_dict[bit]

        return list(cur_dict.keys())[0]



def get_min_xor_with_trie(A,B):

    number_trie = trie()

    for val in A:
        number_trie.add(val)

    ans = []

    for val in B:
        ans.append(number_trie.search(val))

    return ans

Answer 1

关键概念是通过匹配尽可能多的 most-significant 位来最小化 XOR。例如，考虑 B[x] = 4，当 A 中的值是

4 的二进制模式是 0100。所以我们正在寻找一个以 0 开头的数字。这消除了 9，因为 9 有一个 1 作为 most-significant 位。接下来，我们要寻找第二位中的 1。只有 6 以 01 开头，所以 6 是 4.

的最佳匹配

为了有效地解决问题，我会将 A 的元素放入 trie。

使用问题中的示例，trie 看起来像这样。（请注意，通过在 trie 中允许更高的叶节点可以节省内存并提高速度，但这会使 trie 的构造复杂化。）

构建树后，很容易查找任何 B[x] 的答案。只需遵循从根开始的位模式。对于有两个children的节点，转到与当前位匹配的child。对于有一个 child 的节点，没有选择，所以转到那个 child。当找到一片叶子时，这就是答案。

运行时间为O(k(N+M)) 其中k是A中最大数的位数。
在示例中，k 为 4。

查询的最小 XOR

Minimum XOR for queries

python

algorithm

sorting

bit-manipulation

xor