C++

Question

为了在 C++ 中进行更多练习，我决定在不借助数学库的情况下执行一些基本的数学函数。我做了一个幂和阶乘函数，它们似乎运行良好。但是，我的泰勒级数余弦函数有很多问题。

Wikipedia Cosine Taylor Series

它在 cos(1)、cos(2) 处输出很好的近似值，但在 cos(3) 和 cos(4) 处开始失去精度。除此之外，它的答案就完全错误了。以下是 ./a.out

的结果

Input an angle in radians, output will be its cosine
1
Output is: 0.540302

Input an angle in radians, output will be its cosine
2
Output is: -0.415873

Input an angle in radians, output will be its cosine
3
Output is: -0.974777

Input an angle in radians, output will be its cosine
4
Output is: -0.396825                       <-------------Should be approx. -0.654

Input an angle in radians, output will be its cosine
5
Output is: 2.5284                          <-------------Should be approx.  0.284

这里是完整的源代码：

#include <iostream>
#include <iomanip>

using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;

int factorial(int factorial_input) {

    int original_input = factorial_input;
    int loop_length = factorial_input - 1;

    if(factorial_input == 1 || factorial_input == 0) {

        return 1;
    }

    for(int i=1; i != loop_length; i++) {

        factorial_input = factorial_input - 1;

        original_input = original_input * factorial_input;

    }

    return original_input;
}

double power(double base_input, double exponent_input) {

    double power_output = base_input;

    if(exponent_input == 0) {

        return 1;
    }

    if(base_input == 0) {

        return 0;
    }

    for(int i=0; i < exponent_input -1; i++){

        power_output = power_output * base_input;

    }
    return power_output;

}

double cos(double user_input) {

    double sequence[5] = { 0 };  //The container for each generated elemement.
    double cos_value = 0;        //The final output.
    double variable_x = 0;       //The user input x, being raised to the power 2n

    int alternating_one = 0;     //The (-1) that is being raised to the nth power,so switches back and forth from -1 to 1 
    int factorial_denom = 0;     //Factorial denominator (2n)!
    int loop_lim = sizeof(sequence)/sizeof(double);            //The upper limit of the series (where to stop), depends on size of sequence. Bigger is more precision.

    for(int n=0; n < loop_lim; n++) {

        alternating_one = power(-1, n);
        variable_x = power(user_input, (n*2));
        factorial_denom = factorial((n*2));

        sequence[n] =  alternating_one * variable_x / factorial_denom;
        cout << "Element[" << n << "] is: " << sequence[n] << endl;     //Prints out the value of each element for debugging.
    }

    //This loop sums together all the elements of the sequence.
    for(int i=0; i < loop_lim; i++) {                   

        cos_value = cos_value + sequence[i];

    }

    return cos_value;
}

int main() {

    double user_input = 0;
    double cos_output;

    cout << "Input an angle in radians, output will be its cosine" << endl;
    cin >> user_input;
    cos_output = cos(user_input);

    cout << "Output is: " << cos_output << endl;

}

根据 Desmos 上的这张图，在五次迭代后，我的函数应该保持准确度直到 x > 4.2 左右：

Desmos Graph

此外，当我将系列设置为使用 20 次或更多次迭代时（它生成的数字越来越小，这应该会使答案更加精确），元素开始变得非常不可预测。这是带有序列调试器的 ./a.out，这样我们就可以看到每个元素包含的内容。输入为 1.

Input an angle in radians, output will be its cosine
1
Element[0] is: 1
Element[1] is: -0.5
Element[2] is: 0.0416667
Element[3] is: -0.00138889
Element[4] is: 2.48016e-05
Element[5] is: -2.75573e-07
Element[6] is: 2.08768e-09
Element[7] is: -7.81894e-10
Element[8] is: 4.98955e-10
Element[9] is: 1.11305e-09
Element[10] is: -4.75707e-10
Element[11] is: 1.91309e-09
Element[12] is: -1.28875e-09
Element[13] is: 5.39409e-10
Element[14] is: -7.26886e-10
Element[15] is: -7.09579e-10
Element[16] is: -4.65661e-10
Element[17] is: -inf
Element[18] is: inf
Element[19] is: -inf
Output is: -nan

任何人都可以指出我做错了什么以及我应该做得更好吗？我是 C++ 的新手，所以我仍然有很多误解。非常感谢您花时间阅读本文！

Answer 1

您遇到以下问题：

在图片中显示的图表中 k 包含在总和中，而您在代码中将其排除。因此，Desmos 图中的 k=5 等于代码中的 double sequence[6] = { 0 }。

这修复了 user_input = 4 的输出。

对于 user_input = 5，您可以与图表进行比较，看看它也给出了相似的结果（已经远离真实值）

然后你会遇到更多项的错误，因为阶乘函数输出 int，但阶乘增长得太快以至于它会超出值的范围 int可以快速保存，也可以快速超出任何整数类型的范围。你应该 return double 并且让 original_input 也成为 double，如果你想支持更大的输入范围（虽然不是很多）。

在 power 中，您将指数作为 double，但将其作为整数处理。特别是您将它用于循环迭代的限制。只有当值小到足以用 double 精确表示时，它才会正确工作。一旦数值变大，循环次数就会变得不准确。

改为使用 int 作为 power 的第二个参数。

如果要用这种方法实现 cos，通常会先使用 cos 对称性，以将范围缩小到更小的范围，例如[0,pi/2] 首先，使用例如cos(x + 2pi) = cos(x) 和 cos(x+pi) = - cos(x) 和 cos(-x) = cos(x)，等等

Answer 2

问题出在您实现的 factorial 功能上。我对您的代码进行了极小的改动，它在您的 cos(1) 示例计算中运行良好。只需 #include <cmath> 并将 factorial((n*2)) 替换为 tgamma(2*n+1)。然后输出显示

Input an angle in radians, output will be its cosine
Element[0] is: 1
Element[1] is: -0.5
Element[2] is: 0.0416667
Element[3] is: -0.00139082
Element[4] is: 2.48022e-05
Element[5] is: -2.75573e-07
Element[6] is: 2.08768e-09
Element[7] is: 4.65661e-10
Element[8] is: -4.65661e-10
Element[9] is: 4.65661e-10
Element[10] is: -4.65661e-10
Element[11] is: 4.65661e-10
Element[12] is: -4.65661e-10
Element[13] is: 4.65661e-10
Element[14] is: -4.65661e-10
Element[15] is: 4.65661e-10
Element[16] is: -4.65661e-10
Element[17] is: 4.65661e-10
Element[18] is: -4.65661e-10
Element[19] is: 4.65661e-10
Output is: 0.5403

这是 cos(1) 的预期输出。对于 n>1 的 cos(n)，问题是 factorial_denom 的值对于整数而言变得越来越大。您应该将类型更改为双精度：double factorial_denom。使用您修改后的代码，我得到以下结果：

cos(1): Output is: 0.5403
cos(2): Output is: -0.416147
cos(3): Output is: -0.989992
cos(4): Output is: -0.653644
cos(5): Output is: 0.283662

Run your modified code online.

Answer 3

除了已经建议的更改之外，请考虑将系列的使用限制在相对较窄的输入范围内。对于非常大的角度，您可能会遇到数值问题，它们会增加您需要进行的测试量。

余弦函数有几个恒等式，例如对于任意整数n，cos(x) = cos(-x) 和cos(x) = cos(n*2*pi+x)。在运行您的系列解决方案之前，使用这些将角度减小到有限范围。

C++ - 使用泰勒级数近似估计 cos(x)

C++ - Estimating cos(x) using Taylor Series Approximation

double

precision

taylor-series