为什么 2**-1025 != 0.0 在 Python
Why does 2**-1025 != 0.0 in Python
根据IEEE754的规范，64位编码的浮点数有11位指数和52位尾数。因此，可以编码为浮点数的较小数字应该是 2**(-2**10)。 wikipedia page 我相信是真的，给出更精确的 2**-1022 的值，其十进制值大约是 2.2250738585072014e-308.
但是，对于 Python，我可以使用 2**-1052 等浮点数。我的计算机上的实际限制是 2**-1074。由此page of the official documentation，Python通常符合IEEE754.
同时，最大值为2**1023，这是IEEE754标准给定的值
- 为什么会这样？
- 有人解释一下吗？
- Python 中浮点数的实际编码是什么？
- 为什么指数的范围等于
1074+1023+1，即 2098，不是 2 的幂？
binary64 使用有偏指数和 53 位尾数对大多数值进行编码。
偏置指数为1或更多**，值为：1.the_52_bit_encoded_"mantissa" * 2指数-偏差.
偏置指数为0，值为：0.the_52_bit_encoded_"mantissa" * 21 - bias.
OP 是 正常 值的正确想法。但是存在 次正常 值，它们在 0.the_52_bit_encoded_"mantissa" 中有不同数量的前导零。最小的非零则为 0.(51_zeros)1 * 21 - bias 或 2-1074.
** 当偏置指数有最大值时，数字是特殊的：要么是 infinity 要么是 非数字.
首先，Python 文档没有指定使用 IEEE-754。浮点实现的选择取决于每个 Python 实现。 IEEE-754 很流行但不通用。
在IEEE-754基本64位二进制浮点格式（binary64）中，有一个一位的符号域s，一个 11 位指数字段 e，和一个 52 位主要有效数字字段 f（对于“分数”）。
符号位为0表示正，1表示负。
如果e全为1（1111111111，十进制为2047），对象表示无穷大（如果f为零) 或 NaN（如果 f 不为零）。 （“NaN”代表“不是数字”）。
如果e既不是全零位也不是全1位，那么它代表一个指数E = e − 1023，并且 f 字段用于构成数字 F 即 1.f（即二进制数“1.”后跟 f 的 52 位）。 （等价地，如果我们把 f 看成一个二进制数，我们可以说 F = 1 + f • 2−52.) 表示的数为(−1)s • 2E • F。这些被称为正常数字。
若e全为零位，则表示指数E = 1 − 1023， f字段用于组成一个数F即0.f（即二进制数“0”。然后是 f 的 52 位）。 （等价地，我们可以说 F = 0 + f • 2−52。）表示的数字是 (−1)s • 2E • F。这些被称为次正规数。
注意e = 1和e = 0表示相同的指数E, 1 − 1023 = −1022，但将 F 的第一位从 1 更改为 0。 F 是有效数字（小数部分）浮点数。 （人们有时将 f 称为有效数 1，但这是不正确的。它只是提供大部分数学编码的字段尾数。正如我们在上面看到的，指数字段也有助于形成实际的尾数，F。）
最小正数出现在s为零，e为零，f 是 1 (0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001)。则 E = −1022 且 F = 0 + 1 • 2−52, 所以表示的数是 (−1)0 • 2−1022 • 2−52 = 2−1074.
最大有限数出现在s为零，e为2046（11111111110），f 是所有的 (1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111)。 E = 2046 − 1023 = 1023。请注意 f，解释为整数时，是 252 −1，所以 F = 1 + *(252−1) • 2−52 = 1 + 1 − 2−52 = 2 - 2−52。所以表示的值是 (−1)0 • 21023 • (2 - 2−52 ) = 21024 − 2971.
脚注
1 有效数有时被称为“尾数”，但这是对数的小数部分的旧术语。它并不完全适合浮点数，因为尾数是对数的，而尾数是线性的。
根据IEEE754的规范，64位编码的浮点数有11位指数和52位尾数。因此，可以编码为浮点数的较小数字应该是 2**(-2**10)。 wikipedia page 我相信是真的，给出更精确的 2**-1022 的值，其十进制值大约是 2.2250738585072014e-308.
但是，对于 Python，我可以使用 2**-1052 等浮点数。我的计算机上的实际限制是 2**-1074。由此page of the official documentation，Python通常符合IEEE754.
同时，最大值为2**1023，这是IEEE754标准给定的值
- 为什么会这样？
- 有人解释一下吗？
- Python 中浮点数的实际编码是什么？
- 为什么指数的范围等于
1074+1023+1，即2098，不是2的幂？
binary64 使用有偏指数和 53 位尾数对大多数值进行编码。
偏置指数为1或更多**，值为：1.the_52_bit_encoded_"mantissa" * 2指数-偏差.
偏置指数为0，值为：0.the_52_bit_encoded_"mantissa" * 21 - bias.
OP 是 正常 值的正确想法。但是存在 次正常 值，它们在 0.the_52_bit_encoded_"mantissa" 中有不同数量的前导零。最小的非零则为 0.(51_zeros)1 * 21 - bias 或 2-1074.
** 当偏置指数有最大值时，数字是特殊的：要么是 infinity 要么是 非数字.
首先，Python 文档没有指定使用 IEEE-754。浮点实现的选择取决于每个 Python 实现。 IEEE-754 很流行但不通用。
在IEEE-754基本64位二进制浮点格式（binary64）中，有一个一位的符号域s，一个 11 位指数字段 e，和一个 52 位主要有效数字字段 f（对于“分数”）。
符号位为0表示正，1表示负。
如果e全为1（1111111111，十进制为2047），对象表示无穷大（如果f为零) 或 NaN（如果 f 不为零）。 （“NaN”代表“不是数字”）。
如果e既不是全零位也不是全1位，那么它代表一个指数E = e − 1023，并且 f 字段用于构成数字 F 即 1.f（即二进制数“1.”后跟 f 的 52 位）。 （等价地，如果我们把 f 看成一个二进制数，我们可以说 F = 1 + f • 2−52.) 表示的数为(−1)s • 2E • F。这些被称为正常数字。
若e全为零位，则表示指数E = 1 − 1023， f字段用于组成一个数F即0.f（即二进制数“0”。然后是 f 的 52 位）。 （等价地，我们可以说 F = 0 + f • 2−52。）表示的数字是 (−1)s • 2E • F。这些被称为次正规数。
注意e = 1和e = 0表示相同的指数E, 1 − 1023 = −1022，但将 F 的第一位从 1 更改为 0。 F 是有效数字（小数部分）浮点数。 （人们有时将 f 称为有效数 1，但这是不正确的。它只是提供大部分数学编码的字段尾数。正如我们在上面看到的，指数字段也有助于形成实际的尾数，F。）
最小正数出现在s为零，e为零，f 是 1 (0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001)。则 E = −1022 且 F = 0 + 1 • 2−52, 所以表示的数是 (−1)0 • 2−1022 • 2−52 = 2−1074.
最大有限数出现在s为零，e为2046（11111111110），f 是所有的 (1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111)。 E = 2046 − 1023 = 1023。请注意 f，解释为整数时，是 252 −1，所以 F = 1 + *(252−1) • 2−52 = 1 + 1 − 2−52 = 2 - 2−52。所以表示的值是 (−1)0 • 21023 • (2 - 2−52 ) = 21024 − 2971.
脚注
1 有效数有时被称为“尾数”，但这是对数的小数部分的旧术语。它并不完全适合浮点数，因为尾数是对数的，而尾数是线性的。