如何使用 sympy 找到生成函数的第 n 项？

Question

我有一个有理函数：f(x) = P(x)/Q(x)。例如：

f(x) = (5x + 3)/(1-x^2)

因为f(x)是生成函数所以可以写成：

f(x) = a0 + a1*x + a2*x² + ... + a_n*x^n + ... = P(x)/Q(x)

如何使用 sympy 找到生成函数 f(x)（即 a_n）的第 n^th 项？

如果 Sympy 中没有这样的实现，我也很想知道这是否在其他包中实现，例如 Maxima。

感谢任何帮助。

Answer 1

采用的方法，您可以尝试以下方法：

from sympy import *
from sympy.abc import x

f = (5*x + 3) / (1-x**2)
print(f.series(n=20))
k = 50
coeff50 = Poly(series(f, x, n=k + 1).removeO(), x).coeff_monomial(x ** k)
print(f"The coeffcient of x^{k} of the generating function of {f} is {coeff50}")

# to get the first 100 coeffcients (reversing the list to get a[0] the
#   coefficient of x**0 etc.):
a = Poly(series(f, x, n=100).removeO(), x).all_coeffs()[::-1]

输出：

3 + 5*x + 3*x**2 + 5*x**3 + 3*x**4 + 5*x**5 + 3*x**6 + 5*x**7 + 3*x**8 + 5*x**9 + 3*x**10 + 5*x**11 + 3*x**12 + 5*x**13 + 3*x**14 + 5*x**15 + 3*x**16 + 5*x**17 + 3*x**18 + 5*x**19 + O(x**20)
The coeffcient of x^50 of the generating function of (5*x + 3)/(1 - x**2) is 3

按照 Cut The Knot 的 this 示例，该方法可用于找出可以使用 1、5、10、25 和50 美分。

f = 1/((1 - x)*(1 - x**5)*(1 - x**10)*(1 - x**25)*(1 - x**50))
a = Poly(series(f, x, n=101).removeO(), x).all_coeffs()[::-1]
print(a[50]) # there are 50 ways to pay 50 cents
print(a[100]) # there are 292 ways to pay 100 cents

Answer 2

你可以求第 k 个导数，用 0 代替 x 然后除以 factorial(k):

>>> f = (5*x + 3) / (1-x**2)
>>> f.diff(x, 20).subs(x, 0)/factorial(20)
3

参考文献here讨论有理生成函数。寻找重复，您可以使用微分很快看到模式：

[f.diff(x,i).subs(x,0)/factorial(i) for i in range(6)]
[3, 5, 3, 5, 3, 5]

Answer 3

最大值：

powerseries((5*x+3)/(1-x^2),x,0);

returns

使用part提取生成器：

part(''%,1);
(4-(-1)^i1)x^i1

和coeff得到系数：

a(i1) := coeff(''%, x, i1);
[a(0), a(1), a(2)];
[3, 5, 3]

Answer 4

要获得有理式母函数a_n的通式，可以使用SymPy的rational_algorithm。例如：

from sympy import simplify
from sympy.abc import x, n
from sympy.series.formal import rational_algorithm

f = (5*x + 3)/(1-x**2)
func_n, independent_term, order = rational_algorithm(f, x, n, full=True)
print(f"The general formula for a_n is {func_n}")
for k in range(10):
    print(f"a_{k} = {simplify(func_n.subs(n, k))}")

输出：

The general formula for a_n is (-1)**(-n - 1) + 4
a_0 = 3
a_1 = 5
a_2 = 3
a_3 = 5
a_4 = 3
a_5 = 5
a_6 = 3
a_7 = 5
a_8 = 3
a_9 = 5

如何使用 sympy 找到生成函数的第 n 项？

How to find the nth term of a generating function using sympy?

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