log returns（几乎）与百分比变化相同

Question

我有这个函数来计算 returns 的对数。它按预期工作。

def log_returns(prices):
    return np.log(prices / prices.shift(1))

data.apply(lambda x: log_returns(x))

返回的值非常接近 pct_change 方法。这是预期的吗？

data.pct_change()

Answer 1

是的，这确实没有那么奇怪。对于小的 y，它认为 y ≈ log (1+y)。有关详细信息，请参阅 this Mathematics Exchange post。

百分比变化计算为 x_i+1/x_i-1 ，而你计算 log(x_i+1/x_i)。如果我们因此用 y 代替 y = x_i+1/x_i -1，我们看到近似值弹出。

Answer 2

是的，因为自然对数中的微小变化几乎等于百分比变化，所以这不是代码问题。

从 :

log(A/B) = log(A) - log(B)

在你的情况下，A 等于 B 的一些小变化 e。

log(A/B) = log(A) - log(B) =  log(B(1+e)) - log(B)
log(A/B) = log(B) + log((1+e)) - log(B) = log(1+e)

对于较小的 e 值，这意味着 log 是一个很好的近似值。大约 1

log(1+e) ≈ e

有关更数学的解释，请参阅 this SO post。

使用此代码亲自查看：

import pandas as pd
import numpy as np

small = np.linspace(0.01, 0.1, 100)

df = pd.DataFrame({"vals" : small})

df["changes"] = df["vals"].pct_change()

df["log div"] = np.log(df["vals"]/df["vals"].shift())

diff_log = np.log(df["vals"]) - np.log(df["vals"].shift())

df["diff log"] = diff_log

diff_log = diff_log[~np.isnan(diff_log)]

log_div  = df["log div"].dropna().values

assert(np.allclose(log_div, diff_log))

和df.head(10):

     values   changes   log div  diff log                                                                               
0  0.010000       NaN       NaN       NaN                                                                               
1  0.010909  0.090909  0.087011  0.087011                                                                               
2  0.011818  0.083333  0.080043  0.080043                                                                               
3  0.012727  0.076923  0.074108  0.074108                                                                               
4  0.013636  0.071429  0.068993  0.068993                                                                               
5  0.014545  0.066667  0.064539  0.064539                                                                               
6  0.015455  0.062500  0.060625  0.060625                                                                               
7  0.016364  0.058824  0.057158  0.057158                                                                                  
8  0.017273  0.055556  0.054067  0.054067                                                                                    
9  0.018182  0.052632  0.051293  0.051293

log returns（几乎）与百分比变化相同

log returns (almost) same as percent change

percentage

logarithm