如何比较两个数学库实现？
How to compare two Math library implementations?
如您所知，C 标准库定义了几个标准函数调用，这些函数调用应由任何兼容的实现实现，例如 Newlib、MUSL、GLIBC ...
例如，如果我的目标是 Linux，我必须在 glibc 和 MUSL 之间做出选择，我的标准是数学库的准确性 libm。我如何比较两种可能的实现方式，例如 sin() 或 cos()？
一种天真的方法是在一组随机生成的输入和参考输入（例如来自 Matlab）上测试两种实现的结果的输出质量，但是还有其他 reliable/formal/structured/guided 方法吗要compare/model两个？我试着看看是否有这方面的研究，但我找到了，所以任何指点都将受到赞赏。
一些想法：
- 您可以使用 GNU Multiple Precision Arithmetic Library (GnuMP 生成良好的参考结果。
- 可以详尽地测试大多数（如果不是全部）单参数单精度 (IEEE-754 binary32) 例程。 （对于一些 macOS 三角函数例程，例如
sinf，我们详尽地测试了一个实现，验证它返回 忠实舍入 结果，这意味着结果是数学值 [如果可表示] 或两个相邻值之一 [如果不是]。然后，在更改实现时，我们将一个与另一个进行比较。如果新实现结果与旧实现结果相同，则通过。否则，使用 GnuMP来测试它。由于新的实现与旧的实现在很大程度上是一致的，这导致 GnuMP 的调用很少，所以我们能够在大约三分钟内详尽地测试一个新的例程实现，如果我没记错的话。）
- 详尽地测试多参数或双精度例程是不可行的。
- 比较实现时，您必须选择一个或多个指标。具有良好的最坏情况错误的库有利于证明；可以断言它的界限对任何参数都成立，并且可以用来在后续计算中推导出进一步的界限。但是，具有良好平均误差的库可能会产生更好的结果，例如，使用大量数据的物理模拟。对于某些应用程序，只有“正常”域中的错误可能是相关的（大约 −2π 到 +2π 的角度），因此减少大参数（最多大约 10308）的错误可能无关紧要，因为从未使用过这些参数。
- 各种套路都有一些共同点需要测试。例如，对于三角函数例程，测试 π 的不同分数。除了在数学上很有趣之外，这些往往是实现在内部近似值之间切换的地方。还要测试大量可表示但恰好非常接近 π 的简单分数的倍数。这些是参数缩减的最坏情况，如果处理不当，可能会产生巨大的相对错误。他们需要数论才能找到。在任何类型的分散方法中进行测试，甚至是未考虑此减少问题的有序方法，都将无法找到这些麻烦的参数，因此很容易将具有巨大错误的例程报告为准确。
- 另一方面，如果不了解实施的内部知识，则无法知道要测试的要点。例如，在设计正弦例程时，我会使用 Remez 算法找到一个极小极大多项式，目标是从 –π/2 到 +π/2（对于这类事情来说相当大，但是仅举个例子）。然后我会看看在参数缩减过程中可能出现的算术和舍入错误。有时他们会产生稍微超出该间隔的结果。所以我会回到 minimax 多项式生成并推动稍大的间隔。而且我还会寻求参数减少方面的改进。最后，我最终会得到一个保证在一定区间内产生结果的缩减，以及一个已知在该区间内具有一定精度的多项式。要测试我的例程，您需要知道该区间的端点，并且您必须能够找到一些参数，参数缩减会在这些端点附近产生点，这意味着您必须了解我的参数缩减是如何进行的已实现——它使用了多少位，等等。就像上面提到的麻烦的论点一样，这些点不能用散点法找到。但与上述不同的是，它们不能从纯数学中找到；您需要有关实施的信息。这使得几乎不可能知道您已经比较了最糟糕的潜在实现参数。
如您所知，C 标准库定义了几个标准函数调用，这些函数调用应由任何兼容的实现实现，例如 Newlib、MUSL、GLIBC ...
例如，如果我的目标是 Linux，我必须在 glibc 和 MUSL 之间做出选择，我的标准是数学库的准确性 libm。我如何比较两种可能的实现方式，例如 sin() 或 cos()？
一种天真的方法是在一组随机生成的输入和参考输入（例如来自 Matlab）上测试两种实现的结果的输出质量，但是还有其他 reliable/formal/structured/guided 方法吗要compare/model两个？我试着看看是否有这方面的研究，但我找到了，所以任何指点都将受到赞赏。
一些想法：
- 您可以使用 GNU Multiple Precision Arithmetic Library (GnuMP 生成良好的参考结果。
- 可以详尽地测试大多数（如果不是全部）单参数单精度 (IEEE-754 binary32) 例程。 （对于一些 macOS 三角函数例程，例如
sinf，我们详尽地测试了一个实现，验证它返回 忠实舍入 结果，这意味着结果是数学值 [如果可表示] 或两个相邻值之一 [如果不是]。然后，在更改实现时，我们将一个与另一个进行比较。如果新实现结果与旧实现结果相同，则通过。否则，使用 GnuMP来测试它。由于新的实现与旧的实现在很大程度上是一致的，这导致 GnuMP 的调用很少，所以我们能够在大约三分钟内详尽地测试一个新的例程实现，如果我没记错的话。） - 详尽地测试多参数或双精度例程是不可行的。
- 比较实现时，您必须选择一个或多个指标。具有良好的最坏情况错误的库有利于证明；可以断言它的界限对任何参数都成立，并且可以用来在后续计算中推导出进一步的界限。但是，具有良好平均误差的库可能会产生更好的结果，例如，使用大量数据的物理模拟。对于某些应用程序，只有“正常”域中的错误可能是相关的（大约 −2π 到 +2π 的角度），因此减少大参数（最多大约 10308）的错误可能无关紧要，因为从未使用过这些参数。
- 各种套路都有一些共同点需要测试。例如，对于三角函数例程，测试 π 的不同分数。除了在数学上很有趣之外，这些往往是实现在内部近似值之间切换的地方。还要测试大量可表示但恰好非常接近 π 的简单分数的倍数。这些是参数缩减的最坏情况，如果处理不当，可能会产生巨大的相对错误。他们需要数论才能找到。在任何类型的分散方法中进行测试，甚至是未考虑此减少问题的有序方法，都将无法找到这些麻烦的参数，因此很容易将具有巨大错误的例程报告为准确。
- 另一方面，如果不了解实施的内部知识，则无法知道要测试的要点。例如，在设计正弦例程时，我会使用 Remez 算法找到一个极小极大多项式，目标是从 –π/2 到 +π/2（对于这类事情来说相当大，但是仅举个例子）。然后我会看看在参数缩减过程中可能出现的算术和舍入错误。有时他们会产生稍微超出该间隔的结果。所以我会回到 minimax 多项式生成并推动稍大的间隔。而且我还会寻求参数减少方面的改进。最后，我最终会得到一个保证在一定区间内产生结果的缩减，以及一个已知在该区间内具有一定精度的多项式。要测试我的例程，您需要知道该区间的端点，并且您必须能够找到一些参数，参数缩减会在这些端点附近产生点，这意味着您必须了解我的参数缩减是如何进行的已实现——它使用了多少位，等等。就像上面提到的麻烦的论点一样，这些点不能用散点法找到。但与上述不同的是，它们不能从纯数学中找到；您需要有关实施的信息。这使得几乎不可能知道您已经比较了最糟糕的潜在实现参数。