如何使用 LEAN 证明命题逻辑中的两个陈述？

Question

LEAN 教程第 3 章末尾的两个证明我仍在努力（因此阻止我进一步阅读手册）如下：

theorem T11 : ¬(p ↔ ¬p) := sorry

我证明正确含义的尝试在这一点上停止了：

theorem T11R : ¬(p → ¬p) := 
begin 
    assume hyp : p → ¬ p, 
    cases (em p) with hp hnp, 
    exact (hyp hp) hp, 
    exact sorry 
end

显然我还不知道如何使用 ¬p。也不确定如何显示左蕴涵。另一个是这样的：

theorem T2R : ((p ∨ q) → r) → (p → r) ∧ (q → r) := 
begin
    intros porqr, sorry
end

我应该使用（作为正确的暗示）来显示以下内容：

theorem T2 : ((p ∨ q) → r) ↔ (p → r) ∧ (q → r) := 
begin    
    have goR : ((p ∨ q) → r) → (p → r) ∧ (q → r), from T2R p q r,
    have goL : (p → r) ∧ (q → r) → ((p ∨ q) → r), from T2L p q r,
    exact iff.intro (goR) (goL)
end

这里是左边：

theorem T2L : (p → r) ∧ (q → r) → ((p ∨ q) → r) := 
begin
    intros prqr,
    assume porq : p ∨ q,
    exact or.elim porq prqr.left prqr.right
end

Answer 1

theorem T11R 不正确，例如如果 p 是 false 那么 p → ¬ p 是正确的。

¬(p ↔ ¬p) 不等同于 (¬ (p → ¬ p)) ∧ ¬ (¬ p → p)；等同于¬ ((p → ¬ p) ∧ (¬ p → p))，两者不同

对于 theorem T2R 如果你使用 split 战术，它会给你两个目标，一个用于 and 的每一侧。您可以使用 left 和 right 策略将目标 p ∨ q 变成 p 或 q。定理 or.inl 和 or.inr 也可用于证明 or。

这是 T2R

的证明

theorem T2R : ((p ∨ q) → r) → (p → r) ∧ (q → r) := 
begin
    intros porqr,
    split,
    { assume hp : p,
      apply porqr,
      left,
      exact hp },
    { assume hq : q,
      apply porqr,
      right,
      exact hq },
end

如何使用 LEAN 证明命题逻辑中的两个陈述？

How to prove two statements in propositional logic using LEAN?

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