当样本中的 prob 参数总和为 less/greater 而不是 1 时会发生什么？

Question

我们知道sample中的prob参数是用来分配权重的概率。

例如，

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.4, 0.3, 0.1)))/1e6

#  1   2   3   4 
#0.2 0.4 0.3 0.1 


table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.4, 0.3, 0.1)))/1e6

#    1     2     3     4 
#0.200 0.400 0.299 0.100

在此示例中，概率之和恰好为 1 (0.2 + 0.4 + 0.3 + 0.1)，因此它给出了预期比率，但如果概率之和不等于 1 怎么办？它会给出什么输出？我认为这会导致错误，但它提供了一些价值。

当概率总和大于1时

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.5, 0.5, 0.1)))/1e6

#     1      2      3      4 
#0.1544 0.3839 0.3848 0.0768 

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.2, 0.5, 0.5, 0.1)))/1e6

#     1      2      3      4 
#0.1544 0.3842 0.3848 0.0767

当概率总和小于1时

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.1, 0.1, 0.5, 0.1)))/1e6

#    1     2     3     4 
#0.124 0.125 0.625 0.125 

table(sample(1:4, 1e6, replace = TRUE, prob = c(0.1, 0.1, 0.5, 0.1)))/1e6

#    1     2     3     4 
#0.125 0.125 0.625 0.125

正如我们所见，运行多次给出不等于 prob 的输出，但结果也不是随机的。在这种情况下，数字是如何分布的？它在哪里记录？

我尝试在互联网上搜索但没有找到任何相关信息。我查看了 ?sample 的文档，其中有

The optional prob argument can be used to give a vector of weights for obtaining the elements of the vector being sampled. They need not sum to one, but they should be non-negative and not all zero. If replace is true, Walker's alias method (Ripley, 1987) is used when there are more than 200 reasonably probable values: this gives results incompatible with those from R < 2.2.0.

所以它说 prob 参数不需要总和为 1，但没有说明当它总和不为 1 时预期的结果是什么？我不确定我是否遗漏了文档的任何部分。有人知道吗？

Answer 1

如前所述，权重归一化为总和为 1，如下所示：

> x/sum(x)
[1] 0.15384615 0.38461538 0.38461538 0.07692308

这与您的模拟表格数据匹配：

#     1      2      3      4 
#0.1544 0.3839 0.3848 0.0768

Answer 2

好问题。文档对此不清楚，但可以通过查看源代码来回答这个问题。

如果你看R代码，sample总是调用另一个R函数，sample.int如果你传入一个数字x到sample，它会使用 sample.int 创建小于或等于该数字的整数向量，而如果 x 是向量，它使用 sample.int 生成小于或等于 length(x)，然后用它来子集 x.

现在，如果您检查函数 sample.int，它看起来像这样：

function (n, size = n, replace = FALSE, prob = NULL, useHash = (!replace && 
    is.null(prob) && size <= n/2 && n > 1e+07)) 
{
    if (useHash) 
        .Internal(sample2(n, size))
    else .Internal(sample(n, size, replace, prob))
}

.Internal 意味着任何采样都是通过调用用 C 编写的编译代码完成的：在这种情况下，它是函数 do_sample，定义为 here in src/main/random.c。

如果您查看此 C 代码，do_sample 会检查它是否已通过 prob 向量。如果不是，它会在权重相等的假设下进行采样。如果 prob 存在，该函数确保它是数字而不是 NA。如果 prob 通过了这些检查，则会生成一个指向底层双精度数组的指针，并将其传递给 random.c 中另一个名为 FixUpProbs 的函数，定义为 here.

此函数检查 prob 的每个成员，如果 prob 的任何元素不是正有限双精度，则抛出错误。然后，它通过将每个数字除以所有数字的总和来标准化数字。因此，代码中固有的 prob 总和为 1 根本没有偏好。也就是说，即使您输入的 prob 总和为 1，该函数仍会计算总和并将每个数字除以它。

因此，参数命名不当。它应该是 "weights"，正如这里的其他人所指出的那样。公平地说，文档只说 prob 应该是权重向量，而不是绝对概率。

所以根据我对代码的阅读，prob 参数的行为应该是：

prob 可以完全不存在，在这种情况下抽样默认为相等权重。
如果 prob 的任何数字小于零、无穷大或 NA，函数将抛出异常。
如果 prob 中的任何一个值不是数字，则应抛出错误，因为在传递给 C 代码的 SEXP 中它们将被解释为 NA。
prob 的长度必须与 x 相同，否则 C 代码会抛出
如果您指定了 replace=T，您可以将零概率作为 prob 的一个或多个元素传递，只要您至少有一个非零概率。
如果您指定replace=F，您请求的样本数必须小于或等于prob中的非零元素数。本质上，如果您要求 FixUpProbs 以零概率进行采样，它就会抛出异常。
一个有效的 prob 向量将被归一化为总和为 1 并用作采样权重。

作为此行为的一个有趣的副作用，如果您通过设置 probs = c(1, odds)

在 2 个备选方案之间进行选择，这允许您使用赔率而不是概率

当样本中的 prob 参数总和为 less/greater 而不是 1 时会发生什么？

What happens when prob argument in sample sums to less/greater than 1?

r

sample