使用 DP 的链式矩阵乘法的解释？

Question

我无法理解算法书中给出的优化链式矩阵乘法（使用 DP）代码示例。

int MatrixChainOrder(int p[], int n)
{

    /* For simplicity of the program, one extra row and one extra column are
       allocated in m[][].  0th row and 0th column of m[][] are not used */
    int m[n][n];

    int i, j, k, L, q;

    /* m[i,j] = Minimum number of scalar multiplications needed to compute
       the matrix A[i]A[i+1]...A[j] = A[i..j] where dimention of A[i] is
       p[i-1] x p[i] */

    // cost is zero when multiplying one matrix.
    for (i = 1; i < n; i++)
        m[i][i] = 0;

    // L is chain length.  
    for (L=2; L<n; L++)   
    {
        for (i=1; i<=n-L+1; i++)
        {
            j = i+L-1;
            m[i][j] = INT_MAX;
            for (k=i; k<=j-1; k++)
            {
                // q = cost/scalar multiplications
                q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
                if (q < m[i][j])
                    m[i][j] = q;
            }
        }
    }

    return m[1][n-1];
}

为什么第一个循环从 2 开始？为什么 j 设置为 i+L-1 而 i 设置为 n-L+1 ?

我理解了递归关系，但不明白为什么循环是这样设置的？

编辑：

DP后的括号顺序怎么获取？

Answer 1

L 迭代链的长度。显然，一条链条不能只有一根。 i 迭代链的开头。如果第一块是i，那么最后一块就会是i+L-1，也就是j. （试着想象一个链条并数数）。循环中的条件确保对于 i 的任何值，最后一段不大于最大长度 n。简而言之，这些是将值保持在给定边界内的限制。

Answer 2

自下而上，即DP我们首先尝试解决最小可能的情况（我们解决每个最小的情况）。现在，当我们查看递归时（m[i,j] 表示从 i , j.. 括起来的成本）

我们可以看到最小的可能解决方案（任何其他更大的子问题都需要它）比我们需要解决的长度... P(n) 。我们需要用括号括起长度小于 n 的表达式的所有成本。这导致我们纵向解决问题......（注意外循环中的 l 表示我们试图优化其成本的段的长度）

现在我们首先解决所有长度为 1 的子问题，即总是 0（不需要乘法）...

现在你的问题 L=2 -> L=n 我们的长度从 2 到 n 不等，只是为了按顺序解决子问题...

i 是所有子区间的起点，因此它们可以是长度为 l 的区间的起点..

自然j代表子区间结束->i+l-1为子区间结束（因为知道起点和长度就可以算出子区间结束）

使用 DP 的链式矩阵乘法的解释？

Explanation for chained Matrix Multiplication using DP?

c

algorithm

dynamic-programming

matrix-multiplication